Тема 5. Комплексные числа Введение
В процессе развития математики потребовалось дополнительно к известным действительным числам ввести числа нового рода. Они называются комплексными.
Своим появлением комплексные числа обязаны задаче нахождения решений уравнений 3 и 4 степени, но сейчас они применяются во многих областях как самостоятельный математический аппарат.
В отличие от действительных чисел, комплексные числа долгое время не могли связать ни с какими объектами и процессами в реальном мире, в результате чего чисто комплексные числа стали называть мнимыми. В настоящее время известен целый ряд физических величин, подчиненных тем же правилам, что и комплексные числа. Поэтому они нашли широкое применение в физике и технике (электротехнике, теории упругости, аэродинамике, теории автоматического управления и др.).
Занятие 1. Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме
Мнимая единица
- это обозначение некоторого числа, не
являющегося действительным и служащего
для расширения поля действительных
чисел.
Основное свойство мнимой единицы:
|
(1) |
Алгебраическая
форма
называется комплексным
числом.
Множество всех комплексных чисел
обозначается символом
.
Комплексное число состоит из двух частей:
— действительная
часть, обозначается
;
— мнимая часть,
обозначается
.
Действительная и
мнимая части комплексного числа
независимы, как, например, независимы
координаты точки
на плоскости или координаты вектора.
Комплексное число, которое не содержит мнимой части, называется действительным числом, а комплексное число, которое не содержит действительной части, называется чисто мнимым числом.
Для комплексных
чисел определены операции сложения и
вычитания, а также умножения и деления.
Рассмотрим два комплексных числа
и
.
Сумма
.
Сложение комплексных чисел выполняется как сложение векторов. Вычитание — аналогично.
Произведение
можно вычислить как произведение двух
скобок только с учетом того, что
:
.
Комплексные числа
и
называются комплексно-сопряженными.
Произведение комплексно- сопряженных
чисел является действительным
числом.
Это свойство используют при делении комплексных чисел.
Пример 1.
Выполнить деление
.
Решение. Умножим
числитель и знаменатель на число,
сопряженное знаменателю, то есть
:
,
теперь выполним
умножение отдельно в числителе и отдельно
в знаменателе и приведем подобные члены:
.
Ответ:
.
Проверить правильность деления можно умножением.
Свойства рассмотренных арифметических операций с комплексными числами такие же, как с действительными числами. Любое выражение, составленное из комплексных чисел с помощью этих операций можно преобразовывать по обычным алгебраическим правилам, учитывая, что .
Исключение: комплексные дроби нельзя приводить к общему знаменателю как действительные числа.
Задачи
1.
Дано комплексное число
.
Чему равны действительная и комплексная части этого числа?
2.
Даны два комплексных числа
,
.
Вычислите их сумму и разность.
3. Вычислите произведение:
|
|
|
|
|
|
4. Вычислите частное:
|
|
|
|
|
5. Вычислите:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Из условия равенства двух комплексных чисел найти действительные решения и следующих уравнений:
|
|
|
|
7. Найти комплексное
число
,
такое, что:
|
|
|
8. Вычислите:
|
|
|
Домашнее задание
1.
Дано комплексное число
.
Чему равны выражения и ?
2.
Даны два комплексных числа
,
.
Вычислите их сумму и разность.
3. Вычислить произведение:
|
|
|
4. Найти частное:
|
|
|
|
|
|
5. Вычислите выражение:
|
|
|
|
|
|
6.
Найти комплексное число
,
такое что:
|
|
|
Ответы
Задачи
1. а) действительная часть равна 5, комплексная 7.
2.
,
.
3.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
4.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
5.
а) 0; б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
6.
а)
;
б)
.
7.
а)
и
;
б)
и
.
8.
а)
;
б)
.
Домашнее задание
1.
,
.
2.
,
.
3.
а)
;
б)
.
4.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
6.
а)
и
;
б)
и
.