2 Свойства фр.

1)

2) F не убывает

3)

4) F непр. слева

5)

 3) ,

3 Дискретные случайные величины. Случайная величина наз дискретной, если ее множество значений конечное или счетное. Пусть значения , , тогда сумма . Множество всех пар наз. РР .ДСВ часто задается своим рядом распределения.

Пр.: проводится тестирование деталей, произведенных автоматом; вер., что деталь ст. = 0.9; тестирование проводится до 1−го появления ст. детали; пусть число проверенных деталей; построить РР .

Функцию распределения ДСВ можно представить в виде суммы накопленных вероятностей отсюда следует, что

1) график F имеет ступенчатую форму,

2) F возрастает скачками в точках ,

3) величина скачка равна ,

4) ,

4 Непрерывные случайные величины. наз непрерывной если ее функция распределения выражается интегралом , наз плотностью распределения , будем считать ее кусочно-непрерывной.

Свойства функции плотности: 1) и в точках непр, 2) ,

3) .

НСВ часто задается плотностью распределения.

Числовые характеристики случайных величин

1.Мат ожидание

Опр. Мат. ожиданием ДСВ наз. сумма , мат. ожидание НСВ выражается интегралом .

Опр. случайные величины и называются независимыми, если и события и независимые.

Свойства

1)

2)

3)

4) и незав. 

2 Дисперсия

Опр. Пусть – случайная величина, имеющая , дисперсией наз число , если оно . Дисперсия служит мерой рассеяния .

В частности для ДСВ имеем , где , для НСВ . Приведем еще одно выражение для дисперсии:

.

Свойства D

1)

2)

3) незав.

Следствие.

1) если попарно незав., тогда

2) если и незав., то .

Опр. Ср. кв. отклонением случайной величины X наз число , и в отличие от дисперсии имеет одинаковую с X размерность.

3 Моменты

Числа , наз. начальными, а центр. моментами kго порядка СВ X . В частности, , ,

Примеры некоторых распр.

1 Биномиальный ЗР. Пусть и , рассмотрим набор чисел

, их сумма =1, поэтому множ. пар образует РР. ДСВ X с таким РР наз биномиальной.

2 Распределение Пуассона. Пусть , тогда числа и их сумма =1(док), множ пар наз. распр. Пуассона. Если X имеет такое распр. то .

3 Равномерный ЗР. НСВ X распр. равномерно на если ее плотность имеет вид и .

4 Нормальный ЗР. НСВ X распр. нормально если ее плотность , ФР X : наз. инт. вер. Лапласа.

, .

Системы случайных величин

1 Основные понятия

Системы двух и трех случайных величин, ФР системы.

Дискретные системы, таблица вероятностей.

Непр. системы, фун. плотности, ее свойства.

Распределения составляющих системы.

2 Числовые характеристики системы двух случайных величин

Центр распределения, дисперсии составляющих, корреляционный момент – ковариация, коэффициент корреляции.

3 Линейная регрессия

Закон больших чисел

1 Неравенство Чебышева. Если случайная величина имеет и , тогда

 Пусть , тогда

все!

2 Определение. Пусть  послед случайных величин, сх по вер к если , такую сх обозначают в виде .

3 Критерий сходимости по вероятности.

Если , то

 следует из неравенства Чебышева.

4 ЗБЧ в форме Чебышева. Пусть − послед попарно незав случайных величин, дисперсии которых ограничены: , а , тогда

 все следует из критерия сходимости по вероятности.

5 Правило среднего арифметического в теории измерений

6 ЗБЧ в форме Бернулли

7 Центральная предельная теорема

Пусть − послед незав. и одинаково распределенных случайных величин,

, тогда послед сх по распр. к стандартному нормальному закону :

,

причем сходимость равномерная по x.

Элементы мат статистики (анализ наблюдений методами ТВ)

Оценивание параметров распределения

1 Выборка

Пусть − результаты измерения случайной величины , такой набор значений наз выборочной совокупностью или просто выборкой, генеральной совокупностью наз. то множ., откуда произведена выборка, число n − объем выборки. Сами значения наз вариантами, если они возрастают, то набор значений называется вариационным рядом.

Предположим, что встречается раз, − раз, и т.д.,

− объем выборки. Статистическим распределением относительных частот наз. множ. пар . Выборку можно задавать еще в виде набора интервалов и соответствующих частот. Форму распределения частот можно отчетливо увидеть по гистограмме.

Пример