4 Вычисление вероятности

Классическая схема: если −конечное и все исходы одинаково возможны, тогда , где – число исходов, которые приводят к наступлению A, а – число всех исходов. При решении задач на КС используют комбинаторные формулы. Каждая такая формула определяет общее число исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу m элем из n различных элементов исходного множества. При этом оговаривается (1) способ выбора и (2) что следует понимать под различными выборками. Существуют 2 схемы выбора, с возвращением и без него. Кроме того выбранные элементы могут быть упорядочены или нет. Получаем 4 конструкции.

1.Опыт состоит в выборе m элементов без возвращения и без упоряд, исходы различаются составом элементов. Комбинации такого сорта наз. сочетаниями из n элем по m, их общее число .

Пр. (14.79, 14.83, 14.84)

2.Выбор m элементов без возвр, но с упорядочиванием по мере выбора, исходы различаются составом элементов или порядком их следования. Такие комбинации наз размещениями из n элем по m, их общее число . При равенстве получаем , и опыт состоит в выборе случайной перестановки.

Пр. (14.90, 14.91, 14.97)

3.Выбор m элем с возвр, но без упоряд, исходы различаются составом элементов, которые могут повторяться. Такие исходы наз сочетаниями с повторениями, их общее число .

Пр. (14.98)

4.Выбор m элем с возвр. и с упоряд. по мере выбора, исходы различаются составом или порядком следования. Такие комбинации наз размещениями с повторениями, их общее число .

Пр. (14.100)

Геометрические вероятности: если Ω можно представить в виде множества D_Ω  R² , и каждая точка D_Ω одинаково возможна, тогда P(A)=S(D_A)/S(D_Ω) – отношение площадей.

Пр.: задача Бюффона Пр. (14.148, 14.143, 14.154)

Условные вероятности и независимость

1 Определение. Условной вероятностью A по отношению к B наз число . В классическом случае:

Пр. из урны, содержащей 2 белых шара и 1 черный, последовательно вынимают 2 шара, вычислить вероятность того, что второй белый при условии, что первый тоже белый.

На самом деле вероятность события . С помощью условных вер выражается вероятность произведения событий:

, ,...,

вероятность произведения = произведению условных вероятностей.

2 Формула полной вероятности. Набор событий наз. полной группой, если они попарно несовместны, а их сумма достоверное событие.

Теорема

3 Формула Байеса. Пусть полная группа, и произошло событие A, тогда можно вычислить условные вероятности:

.

Формула позволяет переоценить гипотезы после наступления события .

4 Независимость. События A и B наз. незав. если . Отсюда получаем , т.е. наступление не меняет вероятности .

Пр.: из колоды карт в 52 листа вынимают одну карту, пусть A=(дама), B=(пика), тогда , , , поэтому и независимые, так устроены карты!

Задача: если и незав., то противоположные к ним события тоже незав., док.

Опр. События наз. незав. в совокупности если

для всякого поднабора .

Пр.: из незав. любых двух не следует незав. в совокупности, игральная кость в форме тетраэдра и три краски.

Схема Бернулли повторения испытаний

Пусть p – вер события A в одном испытании и n>1, схемой Бернулли наз. серия из n независимых испытаний: вероятность события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Свяжем с этой серией набор из 1 и 0 в

зависимости от наступления или нет события A, и припишем такому набору вероятность , где m – число единиц в наборе. Такая вероятность выражает независимость испытаний в серии. Часто единицу наз успехом, а нуль неудачей. Распределение числа успехов дает выражение .

Приближенные соотношения в схеме Бернулли:

1) Формула Пуассона , ( или )

2) Локальная формула Муавра – Лапласа,

.

3) Интегральная формула Муавра – Лапласа , , ( ).

Пр.1: игральная кость бросается 12000 раз, найти вер того что число выпадений тройки будет заключено между 1900 и 2150,

.

Пр.2: сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью , частота появления герба отличалась от вер не больше чем .

Пусть , найдем наименьшее число испытаний n из условия

.

Пр.3: вер попадания в цель 0.1, сделано 100 выстрелов, в каких пределах с вер. 0.8, будет лежать относительная частота попаданий.

Пусть найдем из уравнения , , .

Случайные величины и их распределения.

1 Определения. Пусть фун, заданная на , наз СВ если прообраз является событием и имеет некоторую вер, при этом выражение наз функцией распределения (ФР) СВ .

Пр.: точку наудачу бросают внутрь круга радиуса R, вер. попадания ее в любую часть круга пропорциональна площади этой части. Обозначим через расстояние точки до центра круга. Найти ФР СВ .