3. Свойства суммы степенного ряда

1) Сумма степенного ряда непр. на интервале сх.

2)

3)

4) Сумма степенного ряда ∞ диф в интервале сх.

4 Ряды Тейлора и Маклорена. Пусть f  диф в т. x₀ , тогда степенной ряд наз. РТ f в т. x₀ , а ряд − РМ f. Предположим, что f разлагается в степенной ряд в точке x₀ , т.е. , тогда f ∞ диф. в интервале, а степенной ряд является рядом Тейлора f.

Рассмотрим возможность разложения фун. в СР. Для этого необходима сходимость РТ f. Однако даже при условии сх., сумма может не совпадать с f.

Теорема о разложении. Пусть f ∞ диф. в , и , , тогда f разлагается в РМ на .

 использовать формулу Тейлора.

5 Разложение основ фун в РМ , , , , .

6 Приложение степенных рядов.

1) Значения фун.: число e;

2) Выч. инт ;

3) Решение ЛДУ: .

Ряды Фурье

1 Определение РФ. Пусть f инт на промежутке , числа , , наз. коэфф Фурье f, а ряд , составленный при помощи этих коэфф. наз рядом Фурье f , при этом пишут .

Вид КФ тесно связан со свойством ортогональности тригонометрической системы : интеграл от произведения двух функций системы равен нулю.

Пусть −конечная сумма, умножим ее на и проинтегрируем по промежутку , справа останется только один интеграл, , и т.д. Задача разложения фун в ряд Фурье необходима в теории колебаний и теплопроводности.

Приведем дост. признак представления функции рядом Фурье.

Признак сх Дирихле. Если функция кусочно-непрерывная и кусочно-монотонная, то ее ряд Фурье сх к в т. непр и к в т. разрыва.

Пр. .

2 Рф чет и нечет фун.

Подготовка (1) f чет  ; (2) f нечет  .

Пусть f чет, тогда ее ряд Фурье состоит из :

Пусть f нечет, тогда ее ряд Фурье состоит из :

Примеры

Задача. Разложить функцию f, заданную на промежутке [0, π] в ряд из .

Решение: продолжить функцию f влево по нечетности и разложить ее в обычный ряд Фурье, все! Сходным образом можно добыть разложение только по .

Пр. .

3 Разложение на промежутке . Пусть функция f задана на промежутке . Фун переводит на и для фун можно построить РФ, , , 

Пр.

Метод Фурье для уравнения теплопроводности

1 Закон Фурье и УТ. Пусть имеется кусок материала, в котором температура меняется при переходе от одной точки к другой. Возникает поток тепла − вектор, равный тепловой энергии, которая проходит за секунду через единичную площадку  потоку. Фурье установил 200 лет назад, что поток тепла равен , наз коэфф теплопроводности, зависит от материала и служит мерой того как хорошо материал проводит тепло.

Рассмотрим теплопроводность в одном измерении − стенка толщиной R. Пусть - температура в точке x в момент времени t, , а f –плотность распределения источников тепла. Напишем баланс тепла на промежутке , 'За сек. пришло слева, ушло вправо, возникло из f и равно скорости':

 по теореме о среднем значении, делим на h

 и переходим к пределу:

 

.

2 Начальные и граничные условия. Для решения задачи теплопроводности необходимо еще задать начальные и граничные условия.

НУ опр. температуру в нулевой момент и имеют вид , где заданная функция.

ГУ опр. температурные зависимости на границе области и имеют вид

1-го рода: , заданы температуры,

2-го рода: , заданы потоки,

3-го рода: , задан свободный теплообмен, h его коэффициент. Возможны и смешанные ГУ.

3 УТ с ГУ 1-го рода. Рассмотрим задачу

УТ ,

НУ ,

ГУ

- уравнение и граничные условия однородные.

Решим ее методом Фурье разделения переменных.

Шаг 1 найдем простые решения уравнения.

Константа разделения должна быть отрицательной т.к.



 .

Шаг 2 найдем те простые решения, которые подчиняются ГУ

,

 .

Шаг 3 найдем решение задачи в виде суммы

,

. Все!

Введение в ТВ (математика случайных испытаний).

Основные понятия

1 Пространство исходов . Испытанием называется определенная последовательность действий, которую можно воспроизвести любое число раз. Оно называется случайным, если его результат невозможно предсказать. Цель испытания – изучение некоторой системы или явления.

Всякое свойство системы, которое можно обнаружить или не обнаружить в результате случайного испытания наз событием.

Среди всех событий выделяют множество – элем событий, его называют пространством исходов, которые отвечают требованию: непременно наступает одно и только одно из них. Кроме того, для каждого события и любого исхода должно быть известно влечет исход ω наступление или нет. Если да, то ω наз благоприятствующим , и это выражают в виде иначе , т.о. всякое событие является частью , .

2 Алгебра событий. События можно складывать, умножать и переходить к противоположному событию.

1) Суммой событий и наз. событие ;

пусть – последовательность событий, их суммой наз. событие , которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий послед, .

2) Произведением и наз. событие ;

3) Противоположным событием к A наз. событие ;

4) тоже событие, оно наз достоверным событием;

5) Невозможным наз событие, которое никогда не наступает, его обозначают символом ;

6) События A и B наз несовместными событиями если .

Существует масса формул, которые связывают эти операции:

Имеется тесная связь между операциями над событиями и множ.

Пусть некоторый класс событий, наз алгеброй если

1) ; 2) ; 3) .

В частности, , если , т.к.

3 Вероятностью на алгебре наз. правило P, которое ставит в соответствие число и удовлетворяет следующим условиям

1) 2) 3) , если попарно несовместные события.

В частности, если .

Тройка наз вероятностным пространством.

Из указанных условий получаем два утверждения:

1.



2.

 ,

Следствие.