2. Признак сравнения в форме неравенства

Пусть и ряд сх. сх.

3. Признак сравнения в предельной форме

Пусть и − строго ПР и , тогда

1) если , то ряды оба сх или оба рсх;

2) если , то из сх следует сх ;

3) если , то из сх следует сх .

4. Признак Даламбера. Пусть −строго ПР и ,тогда

1) если , то ряд сх,

2) если , то ряд рсх,

3) если , то вопрос о сх остается открытым.

5. Признак Коши. Пусть −ПР и , тогда

1) если c<1, то ряд сх,

2) если c>1, то ряд рсх,

3) если c=1, то вопрос о сх остается открытым.

6. Инт. Признак Коши

Опр. Пусть − ПР, фун f на [0, ] наз. производящей если .

Теорема. Если , непр. и , то и оба сх или оба рсх.

Знакопеременные ряды

1. Абс и условная сх. Пусть - знакопеременный ряд, он наз абс сх если сх ряд . Если ряд абс сх, то он сх, это следует из принципа Коши (показать), обратное неверно. Ряд наз условно сх, если он сх, а ряд рсх.

2. Знакочередующиеся ряды. Ряд наз знакочередующимся , если . Такой ряд удобно записывать в виде .

Теорема (признак Лейбниц) Если , то ряд сх.

 частные суммы возрастают и ограничены сверху, и значит, имеют предел, частные суммы с нечетными номерами имеют тот же предел.

Следствие об остатке ряда Лейбница: все, что мы отбрасываем (остаток) по модулю ≤ первого из отбрасываемых и имеет тот же знак.

Функциональные последов и ряды.

1. Основные понятия. Пусть , например , функциональной последовательностью на E наз правило, которое ставит в соответствие фун на E. Пр. .

ФП сх на множестве E, если , наз предельной функцией. Пр. .

Пусть −ФП на E, выражение наз. фун. рядом, − ФП частных сумм. Ряд сх на E если , фун наз суммой ФР. Пр. .

Пусть на E, это означает, что . Если N не зависит от x, то сходимость наз равномерной: если .

Подобным образом ряд сх на E равномерно, если равномерно сх на E. Пр. сх. равномерно .

2. Принцип Коши равномерной сходимости.

Функциональный ряд сх. равномерно на E :

.

С помощью принципа Коши получим признак Вейерштрасса.

Если и ряд сх, то ряд сх равномерно на E.

Пр.

3.Фун. свойства предельной фун. и суммы ряда( )

1) Непр. предельной фун.: непр. и на  f непр. на

2) Предельный переход под знаком инт: непр и на



3) Предельный переход под знаком производной непр , на и

равномерно сх на  на множестве



4) Непр. суммы ряда. Все непр. на множестве и ряд сх. равномерно на  непр на множестве .

5) Интегрирование суммы ряда. Все непр на множестве и сх равномерно на  .

6) Дифференцирование суммы ряда Все непр на ,ряд сх на и сх. равномерно на  .

Степенные ряды

1 Определение. Ряд вида наз степенным рядом в точке x₀ , − заданная последовательность; СР определен на всей прямой; будем считать, что . СР сх в нуле.

2 Теорема о сх СР. Для всякого степенного ряда справедливо одно из следующих утверждений:

1) ряд рсх всюду кроме нуля,

2) такое, что при ряд сх. абс., а при ряд рсх.,

3) ряд сх. абс. на всей прямой.

Следует из леммы Абеля: Если СР сх в т , то он сх абс : .

Число R наз. радиусом сх., промежуток интервалом сх.

Если в 1) положить , а в 3) , то .

Формулы для радиуса сх.: , , если пределы существуют. Пр.