2 Тройной интеграл в сферических координатах

Φ: ,

, , находим матрицу Якоби и якобиан

3 Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Φ: ,

, ,

Пр. вычислим инт. в сферических и цилиндрических координатах

, . Обозначим его через B , в сферических координатах:

,

в цилиндрических координатах:

Криволинейные интегралы 1 рода (интегралы по длине).

Определение. Рассмотрим функцию f опред. и огранич на гладкой кривой Γ в R³. Пусть  − разбиение Γ на n частей, их дл. = .

В каждой части выберем т и образуем инт. сумму .

Введем ранг разбиения и определим предел сумм если как только независимо от 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000выбора .

Крив инт. от фун. по Γ наз. число , если предел существует, при этом фун наз. инт по Γ.

Приведем дост. признак интегрируемости: если непр. на гл. кривой Γ, то существует, в частности −дл. Γ.

Свойства

1 Линейность.

2 Аддитивность. Если Γ разделена точкой на две части , тогда

, это свойство мотивирует дополнение к опр.: если Γ кусочно-гладкая, , тогда по определению .

3 Монотонность. , , ,

.

4 Теорема о ср. знач.: f непр. на Γ  , наз. ср. знач. f на гл. кривой Γ.

Вычисление. Гл. кривая допускает регулярную параметризацию: ее можно задать уравнением , тогда

 Пусть  разбиение , преобразуем интеграл

Пр. 1) ,

2)

Приложение

1) Масса гл. кривой

2) Стат. моменты и центр масс гл. кривой ...

3) Моменты инерции гл. кривой

Пр.: момент инерции полуокружности относительно диаметра,

центр масс полуокружности.

Криволинейные инт. 2 рода (интегралы по координатам).

Определения и вычисление. Векторным полем в области наз. правило , которое ставит в соответствие вектор с началом в точке . определяет координатные функции

, заданные в Ω. наз. непр. если непр. и наз. гл. если имеют непр. частные производные.

Пр. – поле радиуса вектора.

Гл. кривая Γ в наз. ориентированной, если указано направление ее обхода. Пусть непр. поле единичных касательных векторов, согласованное с направлением обхода. Такое поле имеет гл. кривая и наз. направлением.

Криволинейным интегралом 2го рода от поля по кривой Γ в направлении наз. число , где последнее выражение является обозначением. Отметим, что такие интегралы можно определить с помощью предела интегральных сумм второго типа, , ,

,

Сведем все к определенному интегралу регулярной параметризацией

, пусть ,

тогда получаем схему вычислений

.

В частности в пространстве ,

на плоскости

Пр.

Интеграл второго рода дает работу сил поля вдоль заданного пути.

Свойства интегралов второго рода( )

1. При переходе к противоположному направлению инт. меняет знак

2. Если кривая Γ разделена точкой на две части , тогда

Дополнение к определению: если кривая Γ кусочно-гладкая, и их направления согласованы в т. соединения, то по опр. .

Формула Грина. Пусть (1) P и Q непр. диф. в области ,

(2) допустимое множество, граница которого Γ простой кусочно-гладкий контур  .

Приложение к геометрии, вычисление площади с помощью интеграла второго рода: .

Пр.: площадь эллипса.

Независимость инт. от формы кривой в R². Пр. не зависит от формы кривой, а зависит.

Пусть P и Q гл. фун в односвязной области , следующие условия равносильны

1)  кусочно-гладкого контура ;

2) не зависит от формы Γ;

3) ;

4) в



Зам.: фун U наз. потенциалом поля , а  потенциальным, вектор наз. градиентом U, поле будет потенциальным, если для некоторого потенциала U. Условие односвязности существенно, контр пример: в не потенциально, хотя .

Поверхностные интегралы 1 рода

Определения. Поверхность наз. гл., если в  ее точке  касательная плоскость, и она плавно меняется при переходе в другую точку. Поверхность задают с помощью уравнений и наиболее удобными являются параметрические, они имеют вид и выражают координаты точки поверхности через параметры . Для гл. поверхности необходимо, чтобы эти уравнения подчинялись опред. условиям. Их можно выразить через частные производные от радиуса вектора точки.

Множество наз. элем гл. поверхн., если его можно задать уравн. , , где – допуст. множ., при этом функция удовлетворяет условиям:

1) непр., 2) , 3) правило действует вз-одн.

Условие 1) означает, что можно провести касат. к изолиниям и они непр. меняются, 2) означает, что касат. векторы лин. незав. и образуют касат. пл., 3) позволяет считать пару координатами точки поверхн.

Площадь ЭГП выражается по опред. интегралом . Такой вид площадь приобретает в результате следующих рассмотрений. Пусть D прямоуг., разобьем его на частичные прямоуг., берем один из них, его образ на E – криволин четырехугольник, стороны его приблизительно = , а пл. = длине , сумма всех таких порций образует интегральную сумму указанного двойного инт. Можно показать, что инт. не зависит от регулярной параметризации поверхн. Выражение наз. элем площади.

Пусть f огранич на гл. поверхн. ,  разбиение на n частей, площади и диаметры которых = , в каждой части выберем т. и образуем инт. сумму . Введем ранг: и опр. предел сумм: если как только незав. от выбора .

Поверхностным интегралом наз. число , если предел , при этом наз. инт. по E. Приведем дост. признак инт.: если непр. на E, то существует.

Свойства

1 Линейность

2 Аддитивность. Пусть гл. поверхность E разделена кусочно-гладкой кривой на две части , тогда .

Дополним опр.: если поверхность E кусочно-гладкая, , то по опр.

3 Т. о ср. знач. Пусть непр. на E, тогда , число наз. ср. знач. на E.

Вычисление. Поверхностный интеграл сводится к двойному интегралу по формуле .

Элемент площади на некоторых поверхностях:

1) на графике , , , , ,

2) на цилиндре , , , ,

3) на сфере ,

, , ,

Пр. - статический момент полусферы относительно плоскости XY.

Приложение

1 Масса поверхности

2 Статические моменты и центр масс …

3 Моменты инерции …

Поверхностные инт. 2 рода

Определение и вычисление. Пусть E гл. поверхность и ME, нормалью к E в т. M наз. единичный вектор  касат. пл. в т. M. Стороной E наз. непр. поле нормалей, т.е. правило, которое с  ME связывает нормаль в этой т., причем координаты нормали являются непр. фун. точки поверхности. Если у поверхности  сторона, то  еще одна сторона, противоположная, и поверхность наз. двусторонней, поверхность наз. ориентированной, если указана одна из его сторон. Пусть непр. ВП на гл. поверхность E и сторона E, поверхностным интегралом 2-го рода наз. число

,

где последнее выражение служит обозначением.

Часто инт. 2-го рода наз. потоком ВП.

Преобразуем поверхностный интеграл, пусть гл. поверхность задана уравнением , берем сторону , тогда

Рассмотрим случай, когда E – верхняя сторона графика фун. , :



Частный случай

Пример ,

Свойства

1. При переходе к противоположной стороне инт. меняет знак: поток в сторону равен минус потоку в сторону .

2. Аддитивность. Если гл. поверхность E разделена кусочно-гладкой кривой на две части , тогда .

Дополним опред.: пусть E кусочно-гладкая поверхность, т.е. состоит из конечного числа гл. участков, , и их стороны согласованы на ребрах соединения, тогда по опред. положим

Формула Гаусса-Остроградского

1. Определение div. Пусть гл. ВП, фун наз. дивергенцией поля . Пример: – поле радиуса вектора, тогда

2. Теорема. Пусть область ограничена кусочно-гладкой поверхностью E, – внешняя сторона E , и гл. ВП на множестве , тогда ,

Пр.: поток радиуса вектора

Формула Стокса

1 Определение rot. Пусть - гл. ВП в области

Пр.: поле скоростей цилиндра

2 Сторона и край поверхности. Пусть E гл. незамкнутая поверхность, – сторона E, – край E, – направление Γ; и согласованы если они подчиняются правилу правой руки.

3 Теорема. Пусть гл. ВП в области Ω, , тогда ,

Формула Ньютона-Лейбница

1. Определение grad. Пусть u – гл. фун, .

2. Теорема. Если u – гл. фун в области , Γ – гл. кривая в области Ω,

соединяющая точки A и B, – направление на Γ от A к B, тогда ,

Числовые ряды

1. Определение сх. и рсх. Пусть −числовая последовательность, числовой ряд это выражение вида , −члены ряда, конечные суммы − частные суммы ряда. Если существует, то ряд сх., S наз. его суммой, и пишут , иначе ряд рсх.

Пр. сх, рсх, геометр прогрессия.

2. Необходимый признак сх. сх.  .

Обратное утверждение не верно, контр пример: .

Пр.: рсх., нарушен необходимый признак .

3. Принцип Коши сх.  .

Пр.: гармонический ряд расходится:

Положительные ряды

1. Определение. Ряд наз положительным если , отсюда следует, что суммы не убывают. Если они огранич., то ряд сх., обратное тоже верно. Т.о. ПР сх.  огранич.