3. Изоморфизм графов

11. Говорят, что два графа и изоморфны (обозначается ), если существует биекция , сохраняющая смежность. Т.е., если есть ребро , то есть и ребро . И наоборот, если есть ребро , то есть и ребро .

Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности. Следовательно, множество всех графов разбивается на классы эквивалентности по отношению изоморфизма. Изоморфные графы принято отождествлять, т.е. считать одинаковыми.

4. Матрицы смежности и инцидентности

Пусть – помеченный неориентированный граф (возможно, мульти- или песевдограф) порядка . Определим помеченную матрицу , положив:

,

1. – число ребер , при этом петля означает два ребра.

называется матрицей смежности графа . Это симметричная матрица.

Матрица смежности орграфа:

,

2. – число дуг .

Пусть – неориентированный граф (возможно, мульти- или песевдограф), , . Определим матрицу :

.

Матрица называется матрицей инцидентности графа .

Пусть – ориентированный граф. Тогда матрица инцидентности определяется так:

.

2. Элементы графов

   1. Подграфы

12. Граф называется подграфом (или частью) графа , если , (при этом говорят, что содержится в ).

13. Подграф называется остовным подграфом, если .

14. Важный класс подграфов составляют подграфы, полученные в результате удаления вершин. Пусть – вершина графа . Граф получается из графа в результате удаления вершины и всех инцидентных ей ребер.

15. Аналогично из графа можно удалять ребро. Граф получается из графа удалением ребра , при этом концы ребра не удаляются.

16. Пусть – множество каких-либо элементов (вершин и ребер) графа . Подграф получается удалением из всех вершин и ребер, входящих в , а также всех ребер, хотя бы один конец которых принадлежит .

X={1,{2,3},4,{5,7}}

2. Степени вершин графа

17. Степенью (или валентностью) вершины графа называется число инцидентных ей ребер. Петля вносит в степень соответствующей вершины двойку. Будем обозначать степень вершины через .

Максимальная и минимальная степени вершин графа обозначаются символами и соответственно:

, .

18. Список степеней вершин графа называется его степенной последовательностью. Порядок членов этой последовательности роли не играет.

19. Вершина степени 0 называется изолированной, вершина степени 1 – концевой (или висячей).

Рассмотрим сумму степеней всех вершин графа. Каждое ребро вносит в эту сумму двойку, поэтому справедлива следующая лемма.

1. («лемма о рукопожатиях»). Сумма степеней всех вершин графа – четное число, равное удвоенному числу ребер:

.

Для вершин ориентированного графа определяются две локальные степени: – количество выходящих из ребер, и – количество входящих в вершину ребер. Петля дает 1 в обе эти степени.