Пример:

Дополнение к множеству квадратов в множестве ромбов является множество ромбов с хотя бы одним острым углом. А дополнение того же множества квадратов в множестве прямоугольников является множество прямоугольников с неравными соседними стороными.

Свойство операций над множествами

Справедливы следующие свойства операций над множествами:

1. , где 0 -пустое множество.

2.  , где 0 - пустое множество.

3. 

4. 

5. 

6. 

7. , если 

8. , если 

9. 

10. 

3. Графы

Теория графов неоднократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач.

1.Начало теории графов относят к 1736 г., когда Эйлер решил популярную в то время задачу о кенигсбергских мостах (сегодня Калининград). Обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку.

2. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется 3 дома и 3 колодца. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались. Эта задача была решена Куратовским в 1930г.

1. Определения графов

   1. Основные определения

Пусть - непустое конечное множество. Обозначим через множество всех его двухэлементных подмножеств (порядок элементов в двухэлементных подмножествах не имеет значения), т.е. .

1. Пара , где – произвольное подмножество , называется графом (неориентированным графом). Элементы множества называются вершинами графа, а элементы множества – ребрами.

Итак, граф – это конечное множество вершин и множество ребер.

Множества вершин и ребер графа будем соответственно обозначать и . Вершины и ребра графа называются его элементами. Число вершин графа называется его порядком и обозначается . Если , , то граф называют –графом.

2. Говорят, что две вершины и графа смежны, если множество является ребром, и не смежны в противном случае.

3. Если – ребро, то вершины и называют его концами.

4. Два ребра называются смежными, если они имеют общий конец.

5. Вершина и ребро называются инцидентными, если является концом ребра .

6. Множество всех вершин графа , смежных с некоторой вершиной , называется окружением вершины и обозначается через .

7. Граф порядка называется помеченным, если его вершинам присвоены некоторые метки, например, номера 1,2,3,…, .

Графы удобно изображать в виде рисунков, состоящих из точек и линий, соединяющих некоторые из этих точек. При этом точки соответствуют вершинам графа, а соединяющие пары точек линии – ребрам.

1. Рассмотрим граф:

Это (5,6)–граф, , . Вершины 1 и 2 смежны, а 1 и 3 – не смежны. Вершина 1 и ребро инцидентны, .

2. Другие определения графов

Иногда приведенное выше определение графа оказывается недостаточным и приходится рассматривать более общие объекты, в которых вершины могут соединяться более, чем одним ребром. Так возникает понятие мультиграф.

8. Мультиграф – это пара , где – непустое множество вершин, а – комплект неупорядоченных пар вершин. То есть, в мультиграфе допускаются кратные ребра.

2. Мультиграф:

Дальнейшее обобщение состоит в том, что кроме кратных ребер допускаются еще петли, то есть ребра, соединяющие вершину саму с собой.

9. Псевдограф – это пара , где – непустое множество вершин, а – комплект неупорядоченных пар вершин, не обязательно различных.

3. Псевдограф:

Изучаются также ориентированные графы. Тогда множество заменяется декартовым произведением , состоящим из упорядоченных пар элементов множества .

10. Ориентированный граф (орграф) – это пара , где – множество вершин, – множество ориентированных ребер, которые называются дугами, .

Если – дуга, то вершина называется ее началом, а вершина – концом. На рисунке дуги обозначаются стрелками, указывающими направление от начала к концу.

4. Орграф:

Аналогично определяются ориентированный мультиграф и псевдограф: