[Править]Методы

В разных сферах могут применяться различные методы округления. Во всех этих методах «лишние» знаки обнуляют (отбрасывают), а предшествующий им знак корректируется по какому-либо правилу.

• Округление к ближайшему целому (англ. rounding) — наиболее часто используемое округление, при котором число округляется до целого, модуль разности с которым у этого числа минимален. В общем случае, когда число в десятичной системе округляют до N-ого знака, правило может быть сформулировано следующим образом:

  • если N+1 знак < 5, то N-ый знак сохраняют, а N+1 и все последующие обнуляют;

  • если N+1 знак ≥ 5, то N-ый знак увеличивают на единицу, а N+1 и все последующие обнуляют;

Например: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.

• Округление к меньшему по модулю (округление к нулю, целое англ. fix, truncate, integer) — самое «простое» округление, поскольку после обнуления «лишних» знаков предшествующий знак сохраняют. Например, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).

• Округление к большему (округление к +∞, округление вверх, англ. ceiling) — если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак увеличивают на единицу, если число положительное, или сохраняют, если число отрицательное. В экономическом жаргоне —округление в пользу продавца, кредитора (лица, получающего деньги). В частности, 2,6 → 3, −2,6 → −2.

• Округление к меньшему (округление к −∞, округление вниз, англ. floor) — если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак сохраняют, если число положительное, или увеличивают на единицу, если число отрицательное. В экономическом жаргоне —округление в пользу покупателя, дебитора (лица, отдающего деньги). Здесь 2,6 → 2, −2,6 → −3.

• Округление к большему по модулю (округление к бесконечности, округление от нуля) — относительно редко используемая форма округления. Если обнуляемые знаки не равны нулю, предшествующий знак увеличивают на единицу.

[Править]Варианты округления 0,5 к ближайшему целому

Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю. Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:

• Математическое округление — округление всегда в бо́льшую по модулю сторону (предыдущий разряд всегда увеличивается на единицу).

• Банковское округление (англ. banker's rounding) — округление для этого случая происходит к ближайшему чётному, то есть 2,5 → 2, 3,5 → 4.

• Случайное округление — округление происходит в меньшую или большую сторону в случайном порядке, но с равной вероятностью (может использоваться в статистике).

• Чередующееся округление — округление происходит в меньшую или большую сторону поочерёдно.

Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления (см. выше). Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм. Так, если в реестре из 10000 строк окажется 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50 (а это вполне реальная оценка), то при округлении всех таких строк «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной.

Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.

Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса.