Производная произведения и частного функций

Производная произведения функций. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и Внимание:  Производная произведения двух функций НЕ РАВНА произведению производных этих функций! Производная частного функций. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

Пример 1

Найти производную функции  . Решение. Используем правило для вычисления производной частного.

Пример 2

Найти производную cтепенной функции с отрицательным показателем  . Решение. Запишем функцию в виде   и воспользуемся формулой для производной частного. Получаем

Пример 3

Вычислить производную  y(x) = tg x используя формулу производного частного. Решение. Запишем тангенс в виде  . Тогда        Поскольку  , производная равна

Пример 4

Пусть  . Продифференцировать данную функцию, не используя производную сложной функции. Решение. Представим функцию в виде  y(x) = sinxsinx. По формуле производной произведения        Так как  , получаем

Пример 5

Найти формулу для производной произведения трех функций. Решение. Пусть  . Предварительно сгруппировав, применим формулу производной произведения двух функций:        Поскольку  , получаем

Правила дифференцирования. Производные степенных, тригонометрических, показательных и логарифмических, сложных и обратной функций

Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы:

Производная сложной функции.

Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы:

Для сложных функций:

Правила дифференцирования

При дифференцировании константу можно выносить за производную:    Правило дифференцирования суммы функций:    Правило дифференцирования разности функций:    Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):    Правило дифференцирования частного функций:    Правило дифференцирования функции в степени другой функции:    Правило дифференцирования сложной функции:    Правило логарифма при дифференцировании функции:   

Правила дифференцирования, доказательство и примеры.

При решении задач дифференцирования приходится искать производные функций различных классов. В этой статье мы рассмотрим основные правила дифференцирования, которые будем постоянно использовать при нахождении производных. Все эти правила докажем на основе определения производной функции и обязательно остановимся на подробном решении примеров, чтобы понять принцип их применения.

При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x)дифференцируемыми на некотором промежутке X.

То есть, для любого   справедливо  , где   - приращения соответствующих функций.

В другой записи  .

К основным правилам дифференцирования относят:

• вынесение постоянного множителя за знак производной

• производная суммы, производная разности

• производная произведения функций

• производная частного двух функций (производная дроби)

Вынесение постоянного множителя за знак производной.

Докажем формулу  . По определению производной имеем:

Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

На этом доказательство первого правила дифференцирования завершено.

Пример.

Найти производную функции  .

Решение.

Из таблицы производных для тригонометрических функций видим  . Воспользуемся правилом вынесения множителя за знак производной:

Достаточно часто приходится сначала упрощать вид дифференцируемой функции, чтобы воспользоваться таблицей производных и правилами нахождения производных. Следующие примеры это наглядно подтверждают.

Пример.

Выполнить дифференцирование функции  .

Решение.

По свойствам логарифмической функции можно перейти к записи  . Осталось вспомнить производную логарифмической функции и вынести постоянный множитель:

Пример.

Найти производную функции  .

Решение.

Преобразуем исходную функцию  .

Применяем правило вынесения множителя за знак производной и из таблицы берем производную показательной функции:

Основные понятия Неопределенного интеграла

Примеры решений задач

Решить неопределенный интеграл

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

ответ и решение

Решить неопределенный интеграл

ответ и решение

Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла.

Выражение вида   называется интегралом от функции f(x), где f(x) - подынтегральная функция, которая задается (известная), dx - дифференциал x, с символом  всегда присутствует dx.

Определение. Неопределенным интегралом  называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равенподынтегральному выражению f(x)dx, т.е.  или  Функцию   называют первообразной функции   . Первообразная функции   определяется с точностью до постоянной величины.

Напомним, что   -дифференциал функции   и определяется следующим образом:

Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции,производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю.

Например, известно, что   , тогда получается, что   , здесь   - произвольная постоянная.

Задача нахождение неопределенного интеграла от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы снеопределенными интегралами, должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы. Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях.