44. Уравнение в прямой в , проходящей через точку перпендикулярную вектору.

Линия на плоскости является прямой тогда и только тогда, когда она является алгебраической линией первого порядка.     Доказательство. Необходимость. Пусть l − прямая на плоскости, прходящая через точку M0 и параллельная ненулевому вектору а. Пусть Oxy − произвольная аффинная система координат и а = {m, n}, М0(x0, y0). Тогда прямая l описывается каноническим уравнением (5.2.2) или, что то же самое, уравнением n(x - x0) - m(y - y0) = 0, которое, если положить А = n, B = -m, C = -n x0 + my0, может быть записано в виде 

Ax + By + C = 0.              (5.2.6)

Так как вектор а = {m, n} ≠ 0, то по крайней мере один из коэффициентов А или В отличен от нуля. Поэтому левая часть уравнения (5.2.6) представляет собой алгебраический многочлен первой степени. Следовательно, любая прямая на плоскости является алгебраической линией первого порядка.      Достаточность. Пусть в аффинной системе координат Oxy линия l определяется уравнением (5.2.6). Это уравнение имеет частное решение 

, ибо Ax0 + By0 + C ≡ 0

     Вычитая последнее равенство из (5.2.6), получим, что А(x - x0) + В(y - y0) = 0 или, что то же самое, 

В силу теоремы 5.2 это уравнение определяет прямую, проходящую через точку М0(x0, y0), с направляющим вектором а = {-В, А}. Теорема доказана.     Уравнение (5.2.6) называется общим уравнением прямой на плоскости. Вектор n = {A, B} называется вектором нормали к прямой относительно уравнения (5.2.6).      Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты А, В, С отличны от нуля.      Теорема 5.4. В аффинной системе координат Oxy на плоскости вектор а = {m, n}, параллелен прямой, заданной общим уравнением (5.2.6), тогда и только тогда, когда 

Am + Bn = 0,                     (5.2.7)

    Доказательство. Как следует из доказательства теоремы 5.3, вектор b = {-В, А} является направляющим вектором прямой. Это означает, что вектор а параллелен этой прямой тогда и только тогда, когда а коллинеарен b, т.е. когда 

или, что то же самое, Am + Bn = 0. Теорема доказана.     Замечание 2. Левые части условия (5.2.7) можно рассматривать как скалярные произведения вектора нормали n и вектора а в ортонормированном базисе. Таким образом, в прямоугольной декартовой системе координат вектор нормали n = {A, B} к прямой (5.2.6) перпендикулярен этой прямой.         Уравнение в отрезках. Полное уравнение (5.2.6) прямой на плоскости может быть записано в следующем виде: 

Полагая а = - С/А, b = - C/B, получим эквивалентное уравнение

,

называемое уравнениями прямой в отрезках. Числа а, b в этом уравнении имеют простой геометрический смысл (рис. 2): они равны величинами отрезков, которые отсекает прямая на осях координат.         Векторное уравнение. 1. Параметрическое уравнение (5.2.4) представляет собой векторное уравнение прямой на плоскости через направляющий вектор. Оно порождает другие формы векторных уравнений прямой. Это уравнение означает компланарность векторов r - r0 и а, что согласно критерию компланарности  (теорема 4.7) равносильно равенству 

( r - r0, а) = 0             (5.2.8)

или, в силу линейности смешанного произведения,

(r, а) = С              (5.2.9)

где С − константа, равная (r0, а).         2. Из аксиом геометрии следует, что на плоскости через заданную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная заданному вектору.      Теорема 5.5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку М0(r0) перпендикулярно вектору n, имеет вид 

( r - r0, n) = 0,                     (5.2.10)

или, что то же самое,

( r, n) = D,                      (5.2.11)

где D − константа, равная (r0, n).      Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из того, что точка M(r) лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы   и n ортогональны. Теорема доказана.