Лекция 11.

Статистическое оценивание. Статистическая гипотеза.

1. Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок

2. Статистическая гипотеза.

3. Критерии для проверки гипотезы

4. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины.

5. Критерий Колмогорова

1. Статистические оценки параметров распределения. Состоятельность и несмещенность статистических оценок

Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак и необходимо оценить параметры, которыми оно определяется. Например, если изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то нужно оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение; если признак имеет распределение Пуассона – то необходимо оценить параметр .

Обычно имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака , полученные в результате n независимых наблюдений. Рассматривая как независимые случайные величины можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая дает приближенное значение оцениваемого параметра. Например, для оценки математического ожидания нормального распределения роль функции выполняет среднее арифметическое:

Для того чтобы статистические оценки давали корректные приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять некоторым требованиям, среди которых важнейшими являются требования несмещенности и состоятельности оценки.

Пусть _ά – статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Пусть по выборке объема n найдена оценка . Повторим опыт, т.е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным получим другую оценку _ά2. Повторяя опыт многократно, получим различные числа . Оценку _ά можно рассматривать, как случайную величину, а числа _{ά1 ά2 ά3} … _{ά n}– как ее возможные значения.

Если оценка _ά дает приближенное значение с избытком, т.е. каждое число _αi больше истинного значения _α то, как следствие, математическое ожидание (среднее значение) случайной величины _ά больше, чем _α: M(_ά) > α

Аналогично, если _ά дает оценку с недостатком, то M(_ά) < α.

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам. Если, напротив, M(_ά) = α, то это гарантирует от систематических ошибок.

Несмещенной называют статистическую оценку _ά, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки M(_ά) = α.

Смещенной называют оценку, не удовлетворяющую этому условию.

Несмещенность оценки еще не гарантирует получения хорошего приближения для оцениваемого параметра, так как возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т.е. дисперсия может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например , может оказаться значительно удаленной от среднего значения , а значит, и от самого оцениваемого параметра.

Эффективной называют статистическую оценку, которая, при заданном объеме выборки n, имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Надежность и доверительный интервал

До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. В связи с этим при небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, определяющуюся двумя числами – концами интервала. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика _ά служит оценкой неизвестного параметра _α. Очевидно, _ά тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности |α -ά|. Другими словами, если и |α -ά| < δ, то чем меньше , тем точнее оценка. Таким образом, положительное число  характеризует точность оценки.

Статистические методы не позволяют утверждать, что оценка _ά удовлетворяет неравенству |α -ά|<δ, можно говорить лишь о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки _α по ά называют вероятность , с которой осуществляется неравенство |α - ά| < δ. Обычно надежность оценки задается заранее, причем, в качестве  берут число, близкое к единице – как правило, 0,95; 0,99 или 0,999.

Пусть вероятность того, что |α - ά| < δ равна :

.

Заменим неравенство равносильным ему двойным неравенством .

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна .

Таким образом, доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью .