Раздел Теория игр

Максимум функции

(*)

проще всего найти, построив ее график. Для этого поступают следующим образом.

Предположим, что игрок выбрал смешанную стратегию , а игрок ― чистую стратегию, . Тогда средний выигрыш игрока в ситуации оказывается равным

.

На плоскости уравнение описывает прямую. Тем самым каждой чистой стратегии игрока на этой плоскости соответствует своя прямая. Все эти прямые ( ) строятся на плоскости (рис.1). Затем для каждого значения , , путем визуального сравнения соответствующих ему значений на каждой из построенных прямых определяется и отмечается наименьшее из них (рис.2). В результате описанной процедуры получается ломаная, которая и является графиком функции (*) (жирная линия на рис.3).

Эта ломаная как бы огибает снизу все семейство построенных прямых, поэтому ее принято называть нижней огибающей этого семейства.

Верхняя точка построенной нижней огибающей определяет и цену игры , и оптимальную стратегию игрока (рис.4).

Пример 3. Найти оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры, заданной платежной матрицей , методом нижней огибающей.

.

Решение.

1 шаг. Анализ игры на наличие седловой точки.

		-1
		-2
	6 4 3 1 5 4

Седловой точки нет. Решение игры нужно искать в смешанных стратегиях.

2 шаг. Вычисление средних выигрышей игрока (проводится при условии, что игрок выбирает только чистые стратегии).

Из таблицы

	6	4	3	1	-1	0
	-2	-1	1	0	5	4

находим средние выигрыши:

3 шаг. Построение нижней огибающей. Строим на координатной плоскости все шесть прямых, уравнения которых получены на 2 шаге (рис.5, масштаб по осям разный), и находим их нижнюю огибающую.

4 шаг. Определение цены игры и оптимальной смешанной стратегии игрока .

Цену игры и оптимальную стратегию игрока определяет верхняя точка нижней огибающей. Она лежит на пересечении (4) и (5) прямых, заданных уравнениями и (рис.6).

Решаем систему уравнений:

.

можно найти из любого уравнения системы (например, из 1-го).

Получаем: = – цена игры,

= – оптимальная смешанная стратегия игрока .

5 шаг. Определение оптимальной смешанной стратегии игрока  : .

Полагаем:

Из шести чистых стратегий игрока выделяем только две: и , соответствующие прямым (4) и (5), которые пересекаются в наивысшей точке нижней огибающей.

Приравниваем любой из двух средних выигрышей игрока , отвечающий предложенной смешанной стратегии

0	0	0			0
6	4	3	1	-1	0
-2	-1	1	0	5	4

к цене игры:

;

или

.

В обоих случаях получаем, что .

– оптимальная смешанная стратегия игрока .

Полное решение игры:

= , , .

Метод верхней огибающей

Методом верхней огибающей находят решение игр размерностью . В этом случае игрок имеет две чистые стратегии, а число чистых стратегий у игрока произвольно (равно ).

Платежная матрица – игры имеет вид:

Решение такой игры во многом напоминает решение - игры.

Пусть – произвольная смешанная стратегия игрока . Если игрок выбирает ю чистую стратегию, , то средний выигрыш игрока в ситуации будет равным

, . (**)

Зависимость этого выигрыша от переменной описывается прямой.

Графиком функции является верхняя огибающая семейства прямых (**), соответствующих чистым стратегиям игрока (рис. 7).

Абсциссой нижней точки полученной ломаной будет значение , определяющее оптимальную смешанную стратегию игрока , а ординатой – цена игры .

Отыскание оптимальной смешанной стратегии игрока проводится по той же схеме, которая позволяет находить оптимальную смешанную стратегию игрока в игре .

Пример 4. Дана платежная матрица – игры. Найти цену игры и оптимальные смешанные стратегии игроков  и  :

Решение.

1 Шаг. Анализ игры на наличие седловой точки.

			-1
			-1
			0
	3 3

Седловой точки нет. Решение игры нужно искать в смешанных стратегиях.

2 Шаг. Вычисление средних выигрышей игрока (проводится при условии, что игрок выбирает только чистые стратегии).

Из таблицы

3	-1
-1	3
1	0

находим средние выигрыши игрока :

3 шаг. Построение верхней огибающей.

Строим на координатной плоскости все три прямые, уравнения которых получены на 2 шаге и находим их верхнюю огибающую (рис. 8).

(2)

(3)

(1)

0

Рис. 8

1

4 шаг. Определение цены игры и оптимальной смешанной стратегии игрока .

Нижняя точка верхней огибающей является точкой пересечения прямых (1) и (2), заданных уравнениями и (рис. 8).

Решаем систему уравнений:

.

= – цена игры;

= – оптимальная смешанная стратегия игрока .

5 шаг. Определение оптимальной смешанной стратегии игрока : .

Полагаем: , , (из трех чистых стратегий выделяем только две – и , соответствующие прямым (1) и (2), которые пересекаются в нижней точке верхней огибающей).

Из таблицы

	3	-1
	-1	3
0	1	0

находим средние выигрыши игрока . Для этого приравниваем средние выигрыши игрока , соответствующие чистым стратегиям игрока :

.

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока : .

Полное решение игры:

, , .