58. Екстремум функції двох змінних.

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x₀;y₀)  D.

Точка (х₀;у₀) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая -окрестность точки (х₀;у₀), что для каждой точки (х;у), отличной от (х_о;у_о), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(х_о;у_о).

А налогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х₀;у₀), из -окрестности точки (х_о;у_о) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х₀;у₀).

На рисунке 210: N₁ — точка максимума, а N₂ — точка минимума функции z=ƒ(x;у).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х₀;у₀) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х₀; у₀). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

59. Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних у замкненій області.

Рассматривается множество . Если определено правило, по которому каждой точке ставится в соответствие некоторое число (единственным образом), то говорят, что на множестве D определена (однозначная) функция . Как обычно, множество D называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений u: Q = {u} – множеством значений. Часто функцию u = F(x) называют отображением

При n = 2 уравнение F(x,y) = C задает линии уровня поверхности z = F(x,y), а при n = 3 уравнение F(x,y,z) = С – поверхности уровня.

Задание ФНП может быть неявным: F(x,u) = 0 или параметрическим .

Примеры .Поверхности 2 – го порядка.

Как и в случае одной переменной, определяется предел ФНП:

Вместо условия можно писать .

Справедливы все общие свойства пределов: арифметические свойства, переход к пределу в неравенствах и т.д.

Тем не менее, понятие предела ФНП оказывается более сложным за счет того, что стремление т. х к х^о может осуществляться большим числом способов, нежели в случае одной переменной.

Пример.

По аналогии с функциями одной переменной, вводятся бесконечно малые и большие величины и понятие непрерывности:

Функция называется бесконечно малой при , если

Функция называется бесконечно большой при , если

Функция называется непрерывной в т. , если Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Остаются верными все свойства непрерывных функций: арифметические свойства, теорема о сохранении знака. Теоремы об ограниченности непрерывной функции, о переходе через промежуточные значения и о достижении максимума и минимума формулируются для замкнутых областей. Верна также теорема о непрерывности сложной функции: пусть функция непрерывна в т. х^о , а функции в т. В этом случае функция