40. Критерій Коші збіжності ряду.

Для того щоб ряд був збіжним, необхідно і достатньо щоб для будь-якого додатного числа знайшовся такий номер N такий, що для будь-якого та для усіх натуральних чисел p виконувалася умова

40. Критерій Коші збіжності ряду.

Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши) — основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Необходимое условие

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая:   Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).

Строгая формулировка

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы все отрезки этого ряда с достаточно большими номерами   были сколь угодно малы. Другими словами, ряд   сходится тогда и только тогда, когда

Доказательство

Последовательность   частных сумм ряда сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, то есть

что равносильно условию  так как  

41. Ознаки збіжності додатних рядів: порівняння, д’Аламбера, Коші, інтегральна ознака Коші.

42. Функціональні послідовності та ряди.

Функциональные последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу   ставится в соответствие по некоторому закону функция  , определенная на множестве  , то говорят, что на множестве   задана функциональная последовательность  . Множество   называется областью определения последовательности  .

Определение.   сходится в точке  , если числовая последовательность   сходится. Множество всех точек   в которых  сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности  .

 - область сходимости  . Пусть   - обозначение предельного значения. Совокупность всех предельных значений есть функция, определенная на множестве  . Эта функция   называется предельной функцией последовательности  .

Замечание. Точечная сходимость   на некотором множестве   не гарантирует сохранения свойств членов последовательности (например, свойства непрерывности, интегрируемости и т.д.)

Функциональные ряды

Пусть дана функциональная последовательность   определенная на множестве  .

Формальное выражение вида   называется функциональным рядом.

Множество   - область определения ряда. Сумма   первых членов ряда   называется  -ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что   является функциональной последовательностью, определенной на  .

Пусть точка 

Определение. Функциональный ряд   сходится в точке  , если числовой ряд   сходится. Множество   точек  , где  сходится, называется областью сходимости ряда.

Определение. Функциональный ряд   сходится на множестве  , если последовательность   его частичных сумм сходится на  .

Если функциональный ряд сходится на множестве  , то его сумма есть функция  , определенная на  . Очевидно,   есть предел функциональной последовательности  .

Замечание. Поточечная сходимость ряда на множестве   не гарантирует сохранения свойств членов ряда для сумм ряда.

43. Область збіжності функціональних рядів.

44. Дослідження функціональних рядів на абсолютну та рівномірну збіжність.

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если   сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

45. Степеневі ряди.

46. Теореми Коші - Адамара і Абеля.

47. Означення функції декількох змінних. Способи її задання.

48. Границя функції декількох змінних.

Як відомо, будь-який упорядкований набір з n дійсних чисел х1…,хn позначається (х1,…,хn) або М(х1,…,хn) і називається точкою n-вимірного арифметичного простору Rn; числа х1,…,хn називаються координатами точки М(х1,…,хn). Відстань між точками М(х1,…,хn) і М/(х/1,…,х/n) визначається за формулою

Нехай D  Rn – довільна множина n-вимірного арифметичного простору. Якщо кожній точці М(х1,…,хn)  D поставлено у відповідність деяке цілком визначене дійсне число f(M)= f(х1,…,хn), то кажуть, що на множині D задана числова функція f : Rn R від n змінних х1…,хn. Множина D називається областю визначення, а множина  - множиною значень функції f.

Зокрема, при n = 2 функцію двох змінних z = f(x,y),(x,y) D можна розглядати як функцію точок площини в тривимірному просторі з фіксованою системою координат Оxyz. Графіком цієї функції називається множина точок

яка визначає, взагалі кажучи, деяку поверхню в R3.

Приклад 4. Знайти точки розриву функції 

Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється в нуль. Тому вона має лінією розриву пряму 2х + 3у + 4 = 0.

Нехай (х01,…,х0k,…x0n) – довільна фіксована точка в області визначення функції u = f(х1,…,хn). Надаючи значенню змінної хk приросту  , розглянемо границю

.

Ця границя називається частинною похідною 1-го порядку функції по змінній xk в точці (x01,…,x0n) і позначається  або 

Обчислюються частинні похідні за звичайними правилами і формулами диференціювання, але при цьому всі змінні, крім xk, розглядаються як сталі.

Частинними похідними 2-го порядку функції u=f(x1,…,xn) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку. Похідні другого порядку позначаються так:

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого, ніж другий.

Результат багатократного диференціювання функції по різних змінних не залежать від черговості диференціювання за умови, що одержані при цьому змішані частинні похідні неперервні.

Повним приростом функції  в точці  , який відповідає приростам аргументів  , називається різниця

Функція u=f(M) називається диференційовною в точці М0, якщо скрізь в околі цієї точки певний приріст функції можна подати у вигляді

де  A1,…An – числа, не залежні від  .

Диференціалом 1-го порядку du функції  називається вираз

Диференціали незалежних змінних за означенням беруться рівними їх приростам:  .

Для диференціала du правильна формула

Якщо p достатньо мале, то для диференційовної функції правильна наближена формула:

Диференціалом 2-го порядку d2u функції  називається диференціалом від її диференціала 1-го порядку, розглянутого як функція змінних при фіксованих значеннях  : d2u = d(du). Аналогічно визначається диференціал 3-го порядку d3u = d(d2u). Взагалі, dku = d(dk-1 u).

Диференціал k-го порядку функції  , де х1…хn – незалежні змінні, символічно записуються у вигляді формули

яка формально розкривається за біномним законом.

Зокрема, у випадку функції двох змінних  , маємо:

Градієнт функції  - це вектор, що визначається формулою grad  Він визначає напрямок найшвидшого зростання функції:

Приклад 9. Нехай  Знайти grad u (M0).

Маємо 

Тоді 

а тому grad u(M0)= (10;3;8)=