3.1.7.2. Поле тороида

С помощью (420) можно рассчитать B для тороида. Тороид представляет собой диэлектрический каркас в виде тора, на который намотана тонкая проводящая проволока плотно виток к витку. На рис.174 показан разрез тороида. Крестиками показаны текущие от нас токи, а точками – на нас.

Пусть сила тока одного витка I, N – число витков проволоки. Магнитное поле сосредоточено внутри тора (на рис.174 силовые линии поля – пунктирные линии), L – замкнутый контур, охватываемый витки с током, a и b – внутренний и наружный радиусы тороида.

Найдем циркуляцию по контуру L: . Тогда индукция B внутри тороида равна:

, (421)

где – число витков единицы длины тороида.

3.1.8. Магнитный момент тока. Контур с током в магнитном поле

3.1.8.1. Магнитный момент тока

Р ассмотрим замкнутый проводник с током. Например, круговой ток (рис.175). Такой круговой ток обладает магнитным моментом , который равен произведению силы тока I на площадь S, охватываемую круговым током, т.е.

. (422)

Единица измерения .

Магнитный момент является вектором и направлен по нормали поверхности контура кругового тока, т.е. направление определяется правовинтовой системой.

2. Контур с током в магнитном поле

а) Контур с током в однородном магнитном поле

Пусть в однородном магнитном поле находится прямоугольный магнитный контур с током I (рис.176), причем силовые линии параллельны плоскости контура.

Рис.176

На токи, текущие по и , будут действовать сила Ампера:

и .

Они, т.к. (угол между векторами и ), направлены перпендикулярно плоскости чертежа, причем для сила направлена от нас (крестиком обозначено), для - на нас (обозначено точкой). В результате контур с током будет поворачиваться относительно оси ОО, т.е. на контур будет действовать момент сил, который равен:

,

(423)

где - площадь контура с током, -магнитный момент контура с током.

В данном случае угол α между векторами и составляет

Если угол α - произвольный, то формула (423) имеет вид:

или .

(424)

При повороте контура с током в магнитном поле момент сил M совершает работу, которая равна:

.

(425)

С другой стороны работа равна изменению потенциальной энергии взаимодействие магнитного момента с полем , т.е.

.

(426)

Сравнивая (425) и (426) получим, что

.

(77)

т.е. контур с током в однородном магнитном поле обладает потенциальной энергией с точностью до постоянной величины. В зависимости от условия задач const можно принять равной нулю. Тогда (427) запишется:

.

(428)

Выражение (428) описывает потенциальную энергию взаимодействия контура, характеризуемого магнитным моментом , с магнитным полем .

Частный случай. Если α = 0, то M = 0 и , т.е. энергия взаимодействия с полем минимальна. В этом случае система находится в устойчивом состоянии сколько угодно и векторы и параллельны.

Если α = π, то M = 0 и , т.е. энергия максимальна, система находится в неустойчивом состоянии. Поэтому вектор будет поворачиваться до тех пор, пока не станет параллельным магнитному полю .

б) Контур с током в неоднородном магнитном поле

Пусть контур с током находится в неоднородном магнитном поле (рис.177).

Рис.177

Расчет показывает, что на контур с током будет действовать момент сил и сила, направленная вдоль оси ОХ, которая определяется формулой:

. (429)

Поэтому контур с током будет втягиваться в сторону сильного поля, т.е. вдоль оси ОХ.¹³

Контрольные вопросы

1. Опишите опыты Эрстеда и Ампера.

2. Что называется силовой линией магнитного поля? Опишите свойства силовых линий.

3. Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа. Рассчитайте индукцию для бесконечно длинного и конечной длины проводника с током, кругового тока.

4. Рассчитайте для поля катушки, соленоида.

5. Используя закон Ампера, объясните, что параллельные токи притягиваются, а антипараллельные – отталкиваются.

6. Используя силу Лоренца, опишите движение заряженных частиц в магнитном поле и электрических полях.

7. Опишите ускорители частиц, эффект Холла и устройство магнетрона.

8. Что называется магнитным потоком Ф_в? Чему равен магнитный поток через замкнутую поверхность? Найдите работу, совершаемую проводником с током в магнитном поле.

9. Сформулируйте закон полного тока и найдите циркуляцию вектора через замкнутый контур и поле тороида.

10. Что называется магнитным моментом тока и что происходит c контуром с током в магнитном поле?

Литература

1. И.В. Савельев. Электричество и магнетизм. Т.2 . 2008г. §§6.1-6.11 стр. 134-180, § 10.1-10.5 стр 247-268.

2. А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. Курс физики. 2008г. §§ 21.1-23.5 стр. 270-311.

3. И.Е.Иродов. Электромагнетизм. 2008г. §§ 6.1-6.8. стр.155-188.

4. С.Г. Калашников. Электричество. 2008г. §§ 75-88. стр. 150-179.

Примеры решения задач для магнитного поля в вакууме

1. По плоскому контуру течет ток силы I=0,5 A. Радиусы колец контура , . Найти магнитную индукцию В в точке С (рис.178).

Рис.178

Решение.

Из рис.178 видно, что контур с током можно разбить на следующие участки: АВ; BD; DE; EA.

Векторы индукции от всех участков тока направлены перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Контур с током ЕА является ¾ кругового тока с радиусом , а контур BD – ¼ кругового тока с радиусом . Поэтому для них используем формулу индукции для кругового тока.

Для ЕА:

(430)

Для BD:

(431)

Для прямолинейных участков тока АВ и DE используем формулу расчета индукции В прямолинейного тока конечной длины.

.

(432)

В формуле (432) углы и являются углами между направлениями радиуса вектора и током I. Из рис.(178) видно, что , и . Поэтому . Так же можно рассуждать и для тока DE ( ).

Общая индукция в точке С равна

.

(434)

2. Эбонитовый шар радиуса R=0,05 м заряжен равномерно поверхностным зарядом с плотностью . Шар приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти магнитную индукцию В в центре шара (рис.179а).

Решение.

Разбиваем шар на большое число элементарных колец (рис.179б).

Заряд элементарного кольца равен

.

(435)

При вращении заряд dq вокруг оси ОО создает ток силой

,		(436)
Рис.179

где - период обращения шара.

Круговой ток dI в точке С создает магнитное поле, индукция которого определяется формулой

.

(437)

Из рис.179б видно, что .

Тогда

.	(438)
.	(439)

С учетом (438) и (439) выражение (437) запишется в виде

.

(440)

Интегрируя (440), получим индукцию поля в точке С

.

(441)

3. Медный провод сечением , согнутый в виде трех сторон квадрата, может вращаться относительно горизонтальной оси. Провод находится в однородном магнитном поле. Когда по проводу течет ток силой I=15 A, провод отклоняется на угол . Определите индукцию магнитного поля (рис.180).

Решение.

На проводник с током (CD) в магнитном поле В действует сила Ампера

(442)

и сила тяжести

,

(443)

моменты сил которых уравновешивает проводник.

Сила Ампера, действующие на токи, текущие по сторонам АС и DB, равны по ве

Рис.180

личине и противоположны по направлению, радиус-векторы этих сил одинаковы, и поэтому суммарный момент сил, действующих на эти части проводника, равен нулю. Поэтому в (442) l – длина проводника CD. Масса всего проводника равна

, (444)

где 3l – длина всего проводника, т.к. AC=BD=CD=l .

С учетом (3) сила тяжести равна

(445)

и она приложена в точке О, которая является центром масс. Координаты центра масс относительно оси Х определяются формулой

и . (446)

Тогда длина радиуса вектора точки О относительно оси Х равен

. (447)

Момент силы тяжести Р относительно оси Х равен

.

(448)

Момент силы Ампера, действующий на проводник с током CD, равен

,

(449)

где - угол между векторами и , .

.

(450)

С учетом (450) формула (449) запишется в виде

.

(451)

Момент силы направлен противоположно моменту силы . Приравняв (451) и (448), получим

или .

(452)

4. Две бесконечно длинные прямолинейные параллельные токи расположены на расстоянии d=5 см друг от друга. Найти индукцию магнитного тока в точке С, удаленной от первого тока на расстояние , от второго – на , если силы тока равны и (рис.181).

Решение.

Пусть токи направлены перпендикулярно плоскости чертежа от нас (рис.181). Векторы индукции, поля создаваемого каждым током, направлены как показано на

Рис.181

рис.181. Тогда результирующая индукция равна

. (453)

Для прямолинейного тока индукцию находим по формуле

и . (454)

Угол находим, используя теорему косинусов

и

; .

Тогда

.

(455)

С учетом (454) и (455) находим B по формуле (453)

.

5. Две небольшие одинаковые катушки расположены так, что их оси лежат на одной прямой (рис.182). Расстояние между катушками значительно превыша-

Рис.182

ет их линейные размеры. Число витков каждой катушки N=100, радиус витков . С какой силой F взаимодействуют катушки, когда по ним течет одинаковый ток I=1A?

Решение.

Магнитное поле, создаваемое I катушкой в точке О₂ определяется формулой для индукции кругового тока на оси в любой точке умноженное на число витков (рис.182)

.

Катушка 2 обладает магнитным моментом, который равен

,

(456)

где - площадь сечения катушки.

Тогда на магнитный момент со стороны поля действует сила, равная

.

(457)

Подставляя (455) и (456) в (457) и с учетом, что , получим

.

(458)

6. Чему равна циркуляция вектора магнитной индукции В произвольного контура, охватываемого током (рис.183)?

Рис.183

Решение.

По теореме циркуляции вычисляется формулой

. (459)

Условно токи, текущие от нас к плоскости чертежа с плюсом, на нас – со знаком минус. Токи, находящиеся вне контура, циркуляция равна нулю. Поэтому .

7. Однородное поле с индукцией помещена квадратная рамка со сто- роной a=0,05 м, имеющая N=10 витков. Плоскость рамки составляет с направлением магнитного поля угол .

Определите:

1) магнитный поток, пронизывающий рамку;

2) работу, совершаемую магнитным полем при повороте рамки к положению

Рис. 184

равновесия, если по виткам про пустить ток I=10А (рис.184).

Решение.

1. Магнитный поток рамки определяется формулой

, (460)

где S – площадь рамки

; (461)

N – число витков рамки;

- угол между векторами и - нормалью рамки.

.

(462)

С учетом (461) и (462) получим

.

Магнитный момент рамки равен

.

(463)

На магнитный момент со стороны поля действует момент силы

,

(464)

которая совершает работу

.

(465)

.

Тогда работа равна

8. Виток, по которому течет ток , свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В=0,02 Тл. Диаметр витка . Какую работу нужно совершить: а) по перемещению витка в область пространства без магнитного поля; б) для поворота витка на угол относительно оси, совпадающей с диаметром?

Рис.185

Решение.

а) Работа, совершаемая силой тока, определяется формулой

, (466)

Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки, пронизывающие виток в начальном и конечном положениях (рис.185). Магнитный поток определяется формулой

, (467)

где - угол между векторами нормали витка и индукцией . В данной задаче , т.к. вектор нормаль совпадает с вектором индукции . Поэтому с учетом (467) работа (466) вычисляется формулой

,

(468)

где - площадь витка.

, т.к. . Подставляя численные значения, получим

.

Рис.186

Знак (-) показывает, что работа совершается внешними силами.

б) При повороте витка момент силы, действующий на виток, совершает работу (рис.186)

, (469)

где - магнитный момент витка. Из рис.186 видно, что . По условию задачи . Поэтому работа равна

9. Тороид прямоугольного сечения содержит N=500 витков. Наружный диаметр тороида D=0,4 м, внутренний d=0,2 м. Ток, текущий по обмотке, I=2 A. Опреде

Рис187

лите: а) максимальное и минимальное значение индукции в тороиде; б) магнитный поток через сечение тороида.

Решение.

На рис.187а пунктирной линией показана силовая линия магнитного поля, а на

рис.187б – сечение тороида. Индукция поля внутри тороида определяется формулой

, (470)

где l – длина тороида.

Если , то индукция минимальна и равна

Тл.

Если , то индукция максимальна и равна

.

(471)

Магнитный поток через сечение тороида определяется

,

(472)

где - элементарная площадь, через которую пронизывает магнитный поток.

10. Протон и электрон, имеющие одинаковую скорость, попадают в однородное магнитное поле, индукция которого перпендикулярна скорости зарядов. Как будут отличаться траектории заряженных частиц?

Решение.

На заряженные частицы будет действовать сила Лоренца (рис.188)

Рис.188

, (473)

где q, V – заряд и скорость частицы. По условию задачи - угол между векторами и . Поэтому (473) запишется в виде

. (474)

Под действием силы частицы будут двигаться по траектории окружности (на рис.188 верхняя траектория для протона, нижняя – для электрона).

По второму закону Ньютона

или или .

(475)

Из (475) видно, что при одинаковых V, q, B радиус кривизны зависит от массы m частицы. Т.к. масса протона примерно 1800 раз больше массы электрона, то радиус кривизны протона на 1800 раз больше, чем радиус кривизны электрона.

11. Протон, имеющий скорость , влетает в однородное магнитное поле с индукцией под углом к ее направлению. Определите радиус, пе

Рис.189

риод обращения и шаг винтовой линии, по которой будет двигаться протон. Масса протона , заряд .

Решение.

Скорость протона можно разложить на - составляющая скорость параллельна линиям индукции и - составляющая скорость перпендикулярна линиям индукции (в данном случае она направлена на нас от плоскости чертежа рис.189).

и .

(476)

На протон действует сила Лоренца, которая равна (см. на рис.187)

.

(477)

По второму закону Ньютона

,

и радиус траектории равен

.

(478)

Период обращения равен

.

(479)

Он не зависит от скорости частицы.

Так как частица обладает продольной скоростью , то она будет двигаться по винтовой траектории. Поэтому за время Т протон перемещается вдоль поля расстояние, равное

.

(480)

Подставляя численные значения, получим

.

12. Однородные электрическое (Е=500В/м) и магнитное ( ) поля взаимно перпендикулярны. Какой должна быть скорость электрона по величине и направлению, чтобы его движение было прямолинейным и равномерным? Определите энергию электрона.

Рис.190

Решение.

На электрон действуют электрическая сила (рис.190)

(481)

и магнитная сила Лоренца

, (482)

т.к. , то

. (483)

Для того, чтобы электрон двигался прямолинейно и равномерно сумма всех сил, действующих на него, должна равна нулю, т.е.

или .

Энергия электрона равна

или .

13. По металлической ленте толщиной и шириной течет ток силой . Лента помещена в магнитное поле с индукцией В=1 Тл перпендикулярно ленте. Определите разность потенциалов между точками А и С (рис.191).

Рис.191

Число электронов в единице объема равно . Заряд электрона ,

масса (рис.191).

Решение.

Холловская разность потенциалов определяется формулой

, (484)

где - плотность тока, - сечение ленты, а – ширина ленты. Тогда

.

14. Протон ускоряется электрическим полем напряженностью , действующим на протяжении , затем он попадает в однородное магнитное

+ qp

Рис.192

поле с индукцией В=1Тл, действующее в плоскости, перпендикулярной электрическому полю. Определите: а) циклическую частоту вращения протона в магнитном поле, б) радиус траектории вращения протона (рис.192).

Решение.

Работа сил электрического поля по перемещению протона на пути l равна

.

(485)

С другой стороны она равна изменению кинетической энергии

.

(486)

Т.к. начальная скорость протона равна нулю, то

или .

(487)

Со скоростью протон влетает в магнитное поле, где на него действует сила Лоренца , и движение будет по круговой орбите (рис.192)

По второму закону Ньютона с учетом (487)

,

находим радиус орбиты .

Период обращения с учетом (487) и радиуса R равен:

.

(489)

Циклическая частота связана с периодом (489) соотношением

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Как направлен магнитный момент кругового тока (рис.193)?

Рис.193

2. Вдоль длинного прямолинейного магнита расположен гибкий свободный проводник. Какое положение займет он, если по нему пропустить ток?

3. Опишите взаимодействие двух одинаковых круговых токов, имеющих общий центр и расположенных в взаимно перпендикулярных плоскостях.

4. Как изменится индукция магнитного поля внутри медной трубы при увеличении тока, текущего по трубе, в 2 раза?

5. Сферический конденсатор, заполненный диэлектриком и заряженный до некоторой разности потенциалов, разряжается через свой диэлектрик. Каким будет магнитное поле токов разряда в пространстве между сферами?

6. По трем длинным проводам, расположенных в одной плоскости параллельно друг другу на расстоянии , текут токи , . Определите положение прямой, в точках которой индукция В поля равно нулю (рис.194) и силы, которые действуют на проводник с током на единицу длины.

Рис.194

7. К двум точкам проволочного кольца подведены идущие радиально провода,

Рис.195

соединенные с весьма удаленным источником. Один из контактов подвижен (точка А, рис.195). Как изменится индукция магнитного поля в центре кольца при перемещении подвижного контакта по кольцу?

8. В замкнутой цепи постоянного тока имеется участок в виде двух образующих прямой угол прямолинейных проводов (рис.196). Длина этих проводов настолько велика, что

Рис.196

влиянием остальных участков цепи на поля в окрестности вершины угла можно пренебречь. Найти магнитную индукцию В поля в точке А.

9. Соленоид радиуса r и длины l имеет на единицу длины n витков. По соленоиду течет ток силы I. Определите индукцию В поля на оси соленоида как функцию расстояния х от его центра. Исследовать случаи: а) х конечное, ; б) , ; в) l конечное.

10. По объему однородного шара массы m и радиуса R равномерно распределен заряд q. Шар приводится во вращение вокруг своей оси с угловой скоростью . Найти возникающие в результате вращения момент импульса L, магнитный момент , а также отношение .

11. Катушка, по которой течет ток силы , помещена в однородное магнитное поле так, что ее ось с магнитным полем В=1 Тл составляет . Обмотка катушки выполнена из медной проволоки диаметра d=1 мм; радиус витков r=0,1 м. Число витков N=100. Найти магнитный поток, пронизывающий катушку, момент сил, работу, совершаемую моментом сил при повороте оси катушки на .

12. Индукция магнитного поля в центре витка радиусом R=0,1 м равна . Определите индукцию поля: а) на оси витка в точке, расположенной на расстоянии h=0,05м от его центра; в центре витка, если ему придать форму квадрата.

13. По проводникам идет ток , расстояние между осями провода d=10 см. Определите: а) индукцию магнитного поля в точке М, находящейся на расстоянии b=2 см от одного из проводов (рис.197); б) магнитный поток, пронизывающий квадратную рамку со стороны а=5 см, расположенную в одной плоскости с линией.

N

Рис.197

14. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии друг от друга. По проводникам текут токи и в одном и том же направлении. Какую работу нужно совершить (на единицу длины проводника), чтобы раздвинуть их до расстоянии ?

15. Чему равна циркуляция вектора магнитной индукции (рис.198) по замкнутому контуру L?

Рис.198	Рис.199

16. По длинному прямолинейному проводнику течет ток силой I. Параллельно проводнику находится прямоугольная рамка (рис.199). Найдите магнитный поток Ф, пронизывающий данную рамку.

17. Как рассматривая следы заряженных частиц в камере Вильсона, можно определить знак заряда частицы и направление ее импульса?

18. Покажите, что время движения заряженной частицы в циклотроне не зависит от радиуса траектории движения частицы.

19. Если заряженная частица, пролетая некоторую область пространства, не отклоняется от первоначального направления движения, можно ли говорить, что магнитное поле в этой области пространства отсутствует?

20. Как при помощи эффекта Холла определить концентрацию носителей заряда в веществе через которое идет ток?

21. Чему равна работа силы, действующей на электрон, движущийся в однородном магнитном поле с индукцией В?

22. Пучок протонов, перемещаясь в некоторой области пространства, описывает криволинейную траекторию. Как определить магнитным или электрическим полем вызвано это искривление траектории?

23. Покажите, что радиус кривизны траектории заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле, перпендикулярном ее скорости, пропорционален импульсу частицы.

Рис.200

24. В цилиндрическом конденсаторе с радиусами основания а=4 см, b=6 см. Вдоль оси конденсатора действует однородное магнитное поле с В=0,1Тл (рис.200). Через узкую щель АА в конденсатор влетает α-частица с энергией W=2 кэВ. Какую разность потенциалов следует создать между электродами конденсатора, чтобы α-частица прошла в конденсаторе на одинаковом расстоянии от электродов? Заряд α-частицы

, масса

.

25. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией по винтовой линии с радиусом и шагом . Определите: 1) скорость электрона, с которой влетел в магнитное поле; 2) угол между векторами скорости и индукции ; 3) период и частота обращения электрона; 4) импульс , момент импульса L и энергию W электрона.

26. Протон и α-частица, ускоренные разностью потенциалов , влетает в однородное магнитное поле с индукцией В перпендикулярно силовым линиям. Определите отношение: а) кинетических энергией; б) радиусов кривизны траектории; в) периодов обращения этих частиц.

27. Некоторая частица с массой m и зарядом q влетает в скрещенные однородные электрическое с напряженностью Е и магнитное поля с индукцией В, перпендикулярно силовым линиям со скоростью . Найдите силы, действующие на частицу и ускорение частицы и уравнение траектории. Решите эту задачу, если электрическое и магнитное поля сонаправлены.

28. По медному стержню массой m=0,2 кг, лежащему поперек двух рельсов, расположенных друг от друга на расстоянии l=0,5 м, проходит ток силой I=50 А. Коэффициент трения скольжения по рельсам равен µ=0,4. Определите минимальную индукцию магнитного поля, при которой проводник начнет скользить по рельсам