4.11. Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме

Максвелл на основании результатов опытов Ампера и Фарадея создал уравнения электромагнитных полей, которые объясняли все известные в то время опыты по электромагнитным явлениям: законы геометрической оптики, интерференция, дифракция, поляризация и дисперсия света. Теория Максвелла доказала существование электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме со скоростью света, поперечность световых волн, что электромагнитные волны обладают импульсом и оказывают давление на поверхности вещества.

Система уравнений

I	1. ;	II	3. ;
	2.		4. .

Первое уравнение показывает, что изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение – в природе нет магнитных зарядов.

Третье уравнение – магнитные поля создаются не только токами проводимости, но и изменяющимся во времени электрическими полями.

Четвертое уравнение – источниками электрического поля являются электрические заряды. К этим уравнениям дополняются граничные условия:

D1n=D2n;

;

;

;

H1τ=H2τ;

B1n=B2n;

а так же материальные уравнения:

;

,

и уравнение непрерывности тока .

Из системы уравнений Максвелла вытекают:

1. , т.е. векторы , , (скорость) - взаимно перпендикулярны.

2. и , где , с - скорость электромагнитных волн в веществе и вакууме.

Контрольные вопросы

1. Опишите опыты Фарадея. Что называется явлением электромагнитной индукции?

2. Сформулируйте закон электромагнитной индукции, правило Ленца.

3. Выведите закон электромагнитной индукции. Перечислите способы изменения магнитного тока.

4. Опишите явление самоиндукции. Каков смысл индуктивности?

5. Вывести зависимость силы тока от времени при замыкании и размыкании электрической цепи.

6. Опишите взаимную индукцию и ее применение.

7. Рассчитайте коэффициенты взаимной индукции. От чего они зависят?

8. Опишите применение токов Фуко.

9. Получите энергию магнитного поля и энергию перемагничивания ферромагнетика (энергию петли гистерезиса ).

10. В чем отличия вихревого электрического поля от поля зарядов? Выясните смысл первого уравнения Максвелла.

11. Сформулируйте смысл токов смещения и второго уравнения Максвелла.

12. Напишите полную систему уравнений Максвелла и сфомулируйте смысл этих уравнений.

Литература

1. И.В. Савельев т.2. Электричество и магнетизм 2008г. стр. 215-246

2. И.Е. Иродов. Электромагнетизм. 2008г. стр. 241-295

3. А.Л. Детлаф и Б.М. Яворский. Курс физики 2008г. стр. 275-295

4. С.Г. Калашников. Электричество 2002г. стр. 275-283, 179-201

Примеры решения задач для электромагнитного явления

1. Катушка с индуктивностью  мкГн и сопротивлением  Ом подключена к источнику постоянного тока с  В. Параллельно катушке включено сопротивление  Ом. После этого, как ток в катушке достигает установившегося значения, источник тока отключается. Найти количество теплоты , выделавшееся в сопротивлении после разрыва цепи. Сопротивлением источника тока и соединительных проводов пренебречь (рис.268).

Решение.

П ри установившемся токе сила определяется формулой

, (630)

где .

Рис.268

С учетом последнего (630) запишется в виде

.

Падение потенциала на участке AB равно

. (631)

Из первого правила Кирхгофа найдем для узла A

,

. (632)

Подставляем (632) в (631) получим или

. (633)

Подставляя (633) в (632) получим

.

При замыкании ключа k в катушке возникает переменное магнитное поле (явление самоиндукции), энергия которого равна

.

При размыкании ключа k часть энергии поля идёт на нагревание катушки ( , которая равна

,

а другая часть ( ) – на нагревание сопротивления , т.е

.

2. В магнитном поле движется проводник со скоростью . Определите знаки ЭДС на концах проводника (рис.269а).

Решение.

а) б)

Рис.269

Внутри проводника имеются свободные электроны (электроны проводимости). Пусть относительно проводника он неподвижен. Тогда электрон вместе с проводником движется перпендикулярно силовым линиям магнитного поля и на него действует сила Лоренца (рис.269а). Поэтому конец B заряжается отрицательно, а конец проводника A – положительно.

3. На рис.271 показано направление индукционного тока в проводнике, который движется перпендикулярно чертежу к нам. Какой полюс магнита изображен на рисунке?

Решение.

Поскольку ток течет от A к B, то в этом направлении движется положительный заряд, на который действует сила Лоренца (рис.270а).

По правилу левой руки определяем направление силы Лоренца. Следовательно, силовые линии магнитного поля направлены справа налево (рис.270б). Т.е с северного полюса N к южному S.

а)	б)
Рис.270

4. В кольцо из диэлектрика вдвигают магнит. Какие изменения в диэлектрике при этом произойдут (рис.271)?

Решение.

П ри вдвигании магнита изменяется магнитный поток, проникающий в кольцо диэлектрика. Поэтому вокруг кольца возникают вихревое электрическое поле (силовые линии замкнуты), которое индуцирует заряд в диэлектрике, т.е диэлектрик поляризуется.

Рис.271

5. Виток площади S расположен перпендикулярно магнитному полю B. Он замкнут через гальванометр с сопротивлением R. Какой заряд протекает через этот гальванометр, если виток повернуть параллельно полю ? (рис.272)

Решение.

П ри повороте витка в магнитном поле изменяется магнитный поток, который вызывает ЭДС индукции равная

. (634)

По закону Ома

(635)

Рис.272

Сравнивая (634) и (635) получим

,

,

.

Магнитный поток определяется формулой

. (636)

При повороте витка на магнитный поток равен

. (637)

С учетом (636) и (637) получим

.

6. В однородном магнитном поле с индукцией  Тл поступательно и равномерно движется проводник длиной  см со скоростью  м/c. Вектор скорости направлен под углом к вектору индукции (рис.273). Проводник при движении остаётся перпендикулярным направлению поля. Найдите разность потенциалов на концах проводника.

Решение.

Б есконечно малое изменение магнитного потока, обусловленное движением проводника, определяется формулой

.

ЭДС индукции с учётом (1) равна

.

Рис.273

С другой стороны ЭДС равна разности потенциалов между концами проводника

В.

7 . Квадратная рамка стороной a вращается в однородном магнитном поле с индукцией с частотой (рис.274).

Ось вращения рамки перпендикулярна магнитного поля. Определите ЭДС индукции вызываемой в рамке.

Решение.

ЭДС индукции по закону электромагнитной индукции определяется формулой

.

Рис.274 Магнитный поток определяется формулой

. (638)

С учётом (638) найдем ЭДС

.

Амплитуда ЭДС равна

.

8. Катушка с индуктивностью  мГн и сопротивлением  Ом подключается к источнику постоянного напряжения. Через какой промежуток времени сила тока в катушке достигнет a) 50%, б)75% установившегося значения?

Решение.

При подключении источника тока к катушке с сопротивлением, сила тока в цепи изменяется по закону

или ,

,

.

1. При , то  с.

2. При , то c.

9. На цилиндрический каркас длиной  м и диаметром  м намотан один слой витков проволоки. Определите индуктивность этой катушки, если магнитная проницаемость равна .

Решение.

Индуктивность катушки определяется формулой

,

где

(639)

магнитное потокосцепление катушки, B - индукция поля, создаваемая одним витком определяется формулой

. (640)

С учетом (639) и (640), получим

,

мкГн.

10. Плоский квадратный контур со стороной м, по которой течёт ток А, свободно установился в однородном магнитном поле Тл. Определите работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол .

Решение.

Н а контур с током в магнитном поле действует момент силы (рис.275).

,

где - магнитный момент контура; - индукция магнитного поля, - угол между векторами и .

При установившемся положении контура в магнитном поле угол . Поэтому момент силы равен нулю .

Рис.275

При повороте контура относительно оси внешние силы совершают работу против момента силы, и она равна

Дж.

11. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит витков проволоки, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока А магнитный поток одного витка равен мкВб. Определите индуктивность соленоида и энергию магнитного поля.

Решение.

Индуктивность соленоида определяется формулой

. (641)

Магнитное потокосцепление равно

. (642)

Подставляя (642) в (641) получим

Энергия магнитного поля соленоида равна

Дж.

12. Стержень длиной м заряжен равномерно с линейной плотностью заряда мкКл/м. Стержень вращается с частотой относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец (рис.276). Определите магнитный момент .

Решение.

Рис.276

Разобьем заряженный стержень на большое число элементарных зарядов . При вращении элементарного заряда создаётся электрический ток, сила которого равна

,

где - период вращения, - частота вращения.

Магнитный момент электромагнитного тока равен

, (643) (2)

где - площадь, охватываемая током . Интегрируя (643), получим

.

13. По катушке индуктивностью Гн течет ток, силой А. Определите среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре, если сила тока изменяется до нуля за время мс.

Решение.

ЭДС самоиндукции определяется формулой

.

Среднее значение ЭДС самоиндукции равно

В.

14. Цепь состоит из катушки индуктивностью Гн и источника тока. Источник отключили, не разрывая цепи. Время, через которое сила тока уменьшилась до I=0,01I₀ первоначального значения, равно c. Определите сопротивление катушки.

Решение.

При отключении источника тока в цепи изменение силы тока определяется формулой

. (644)

Логарифмируя (644), получим

Ом.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Почему при вращении подковообразного постоянного магнита вокруг собственной поперечной оси, расположенной под ним диск приходит во вращение в ту же сторону?

2. Почему при колебаниях металлического маятника между полюсами электромагнита маятник сильно тормозится?

Рис.277 Рис. 278

3. Проводник, по которому течёт ток , перемещается в направлении вектора скорости . Каково направление тока в неподвижном проводящем витке, находящемся в поле проводника с током (рис.277)?

4. Почему сердечники трансформаторов собирают из тонких изолированных друг от друга листов стали?

5. В магнитном поле бесконечно длинного проводника с током находится прямоугольная проводящая рамка со сторонами и , причём сторона “ ” параллельна проводу с током (рис.278) расстояние от проводника с током до ближайшей стороны рамки . Определите среднее значение индукции, возникающей в рамке при удалении от проводника параллельно самой себе на расстоянии X c постоянной скоростью .

6. На расстоянии м от бесконечно длинного проводника с током А находится проводник с длиной м, параллельно проводнику с током. Определите ЭДС индукции, если проводник движется со скоростью м/c в течение времени с.

7. Тонкий металлический стержень длины м вращается с частотой в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной к стержню и отстоящей от одного из его концов на расстояние м. Вектор индукции параллелен оси вращения и равен Тл. Найти разность потенциалов , возникающую между концами стержня.

8. Тонкое кольцо радиусом м несёт равномерно распределённый заряд нКл. Кольцо вращается с угловой скоростью рад/c относительно оси, совпадающей с одним из диаметров кольца. Найдите магнитный момент обусловленный вращением кольца.

9. Квадратный контур со стороной м, в котором течёт ток силой  А, находится в магнитном поле Тл под углом к линиям индукции. Какую работу нужно совершить, чтобы при несущей силе тока в контуре изменить его форму на окружности?

10. Проволочное кольцо, присоединённое к баллистическому гальванометру, вставили примой магнит. При этом по цепи прошёл заряд  мкКл. Определите изменение магнитного потока через кольцо, если сопротивление цепи гальванометра равно Ом.

11. Соленоид сечением содержит витков. При силе тока А магнитная индукция поля внутри соленоида равна Тл. Определите индуктивность и энергию магнитного поля соленоида.

12. Соленоид содержит витков. Сечение соленоида   . По обмотке течёт ток, создающий магнитное поле с индукцией  мТл. Определите среднее значение ЭДС самоиндукции, которая возникает на зажимах соленоида, если сила тока уменьшается до нуля за время мс.

13. В электрической цепи, содержащий резистор сопротивлением  Ом и катушку с индуктивностью Гн, течёт ток А. Определите силу тока в цепи через мс после её размыкания.

14. На железный стержень намотано витков. Найти энергию магнитного поля, если при силе тока А магнитный поток через поперечное сечение тора мВб.

15. При каком значении напряженности электрического поля в вакууме объёмная плотность энергии этого поля будет такой же как у магнитного поля с индукцией Тл?

16. Найдите индуктивность и энергию магнитного поля в соленоиде длиной м, диаметром см, имеющей витков с железным сердечником с проницаемостью , если по нему идёт ток силой I=1 А.

17. Два соленоида одинаковой длины и почти одинакового сечения вставлены полностью один в другой. Найдите их взаимную индуктивность, если их индуктивности равны и .

18. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой А/c, во второй катушке возникает ЭДС B. Определите коэффициент взаимной индукции.

12 Выводы формул (373) и (374) посмотрите в учебниках И.В. Савельева, И.Е. Иродова и А.А.Яворского, Б.М. Детлафа.

13 Подробно этот раздел описан в книге И.В.Савельева Т.2 ”Электричество и магнетизм”, стр.158-167, 2008г.

14 Доказательство (505) и (506) посмотрите в учебниках по электричеству и магнетизму авторов: И.В.Савельев, И.Е.Иродов, А.А.Детлаф и Б.М.Яворский, С.Г.Калашников.

15 Точное определение индуктивности L дано в книге электромагнетизма И.Е. Иродова (стр.265).

16 См. лекцию 5.

17 См. там же.

237