3.1.3. Закон Био-Савара-Лапласа. Расчет индукции магнитных полей, создаваемых различными токами

0. 3.1.3.1. Закон Био-Савара-Лапласа

Био и Савар (1820г.) исследовали магнитные поля, создаваемые прямолинейным, круговым токами и пытались получить общий закон, который позволял бы вычислить индукцию поля, создаваемого проводником с током произвольной формы. Однако этого сделать им не удалось. Лаплас используя принцип су

Рис.152

перпозиции магнитных полей и результаты опытов Био и Савара создал математический закон определения индукции магнитных полей.

Дан проводник с произвольной формы с током, создающий магнитное поле. Найти индукцию поля в любой точке пространства (на рис.152 точка А).

Для этого проводник с током разбиваем на элементы тока.

Элементом тока называется векторная величина, равная произведению силы тока I на элемент длины (dl) проводника (рис. 152б), т.е Id . Вычисляем индукцию магнитного поля, создаваемого каждым элементом тока Id . По закону Био-Савара-Лапласа индукция магнитного поля , создаваемого элементом тока Id , пропорциональна величине элемента тока, синусу угла α и обратно пропорциональна квадрату расстояния от элемента тока до точки А, т.е.

,

(352)

где =410^-7 Гн/м – магнитная постоянная, - угол между векторами Id и .

Тогда по принципу суперпозиции результирующая индукция в точке А равна

(353)

3.1.3.2. Расчет индукции магнитных полей, создаваемых различными токами

0. а) Поле, создаваемое прямым проводником с током конечной длины l (рис.153)

Найти В в любой точке А на расстоянии R от проводника.

Рис.153

Для этого проводник с током I разбиваем на большое число элементов тока Idl и вычисляем индукцию dB магнитных полей, создаваемых каждым элементом тока.

Индукция поля, создаваемого элементом тока равна

,

(354)

где α- угол между СЕ и СА. Угол С равен

С=90-βЕ,

(355)

Тогда угол α равен

α=180-С=180-90+β=90+β. Тогда sinα=sin(90+β)=cosβ

(356)

Из треугольника СЕД следует, что

,	(357)
,	(358)

С учетом (356), (357) и (358) формула (354) запишется:

.

(359)

Интегрируя (9) получим:

.

(360)

где β₁и β₂ – углы показаны на рис.154.

Рис.154	Рис.155

0. Б) Поле бесконечно длинного проводника с током (рис.155)

Используем формулу (360). При l→ углы ; . Тогда индукция В поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током, равна:

.	(361)

в) Поле кругового тока (рис.156)

Дан круговой ток радиусом R . Найти В поля, создаваемого круговым током, в точках на оси, проходящей через центр кольца, перпендикулярно плоскости кольца (рис.156).

Рис.156

Разбиваем круговой ток на элементы тока Idl и по закону Био-Савара-Лапласа найдем индукцию в точке А.

,

(362)

где α- угол между направлением тока и радиусом и равен .

С другой стороны

,

(363)

Тогда

,

(364)

Разложим d на составляющие

и , т.е. . (365)

Интегрируя (365) получим

,

(366)

В выражении (16) интеграл . Поэтому

, (367)

Т.к. dBy=dBsinβ, то В= , (368)

Подставив (363), (364) в (368), получим

.

(369)

Из рис.156 следует, что

r= . (370)

И с учетом (370) получим

.	(371)