4.Точки экстремума

Определение: Точка называется точкой максимума (точкой минимума) функции y=f(x), если : 1) эта точка является внутренней точкой области определения и 2) существует такая окрестность точки , что для любого х, принадлежащего этой окрестности (кроме х= ) выполнено условие f( )>f(x) ( f( )<f(x) )

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значение функции в этих точках называется максимумом (минимумом) или экстремумом.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем минимум в одной точке может оказаться больше максимума в другой точке. Наличие максимума( минимума) не означает, что f принимает наиб.(наим.) значение.

Теорема: (необходимое условие экстремума)

Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке , необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась 0 или не существовала

f(x )=0 f(x )=0 f(x ) не сущ. f(x ) не сущ.

экстр. есть экстр. нет экстр. есть экстр. нет

Теорема: (достаточное условие экстремума)

Для того, чтобы функция y=f(x), определенная на интервале (a;b) и непрерывная в точке этого интервала имела максимум (минимум) в точке , достаточно, чтобы при переходе через эту точку производная меняла знак с «+» на «-» (с «-» на «+»).

Пример: Найти точки экстремума функции

-1 ½ 5

׀ ׀ ׀

.

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема: (второе достаточное условие экстремума)

Если в точке 1-ая производная функции равна 0 ( f(x )=0 ), а 2-ая производная в точке существует и отлична от 0 ( ), то при в точке функция имеет максимум и минимум – при .

Пример: Найти точки экстремума функции .

- стационарные точки

Данное условие применяют, если поиск знака 1-ой производной затруднен. Например, для тригонометрических функций.

Замечание: Второе условие экстремума имеет более узкий круг применения по сравнению с первым. Оно не применимо к точкам, в которых не существует 1-ой производной и в которых 2-ая производная обращается в 0.

5.Выпуклость и точки перегиба функции

График дифференцируемо функции y=f(x) называется выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх на интервале (a;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Теорема: Если функция y=f(x) имеет на интервале (a;b) 2-ую производную и

то график функции на этом интервале выпуклый вверх. Если -

график выпуклый вниз.

Определение: Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция меняет направление выпуклости.

Теорема: (необходимое условие точки перегиба)

Если график функции имеет перегиб в точке и функция имеет непрерывную 2-ую производную в этой точке, то .

Точки, в которых 2-ая производная равна 0, называются критическими точками 2-го рода.

Не всегда 2-ое условие означает наличие точки перегиба.

=0 =0 не сущ. не сущ. не сущ.

перегиб есть перегиба нет перегиб есть перегиба нет перегиб есть

Теорема: (достаточное условие точки перегиба)

Если в точке функция имеет или не существует и при переходе через точку меняет знак, то точка является точкой перегиба.

Пример: Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции .

В точке перегиба график функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; в точке выпуклость графика меняется с выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа.