лекция 15

Исследование функции с помощью производной

1.Общая схема исследования функции и построения графика

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность, т.е. определить возможную симметрию графика. В случае симметрии достаточно построить график на правой части координатной плоскости и затем симметрично отобразить его.

3. Найти асимптоты.

4. Найти точки пересечения с осями, т.е. решить уравнения y=f(0) и f(x)=0.

5. Найти интервалы знакопостоянства (промежутки, на которых f(x)>0 или f(x)<0).

6. Найти интервалы монотонности и точки экстремума.

7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

8. Найти дополнительные точки, уточняющие вид графика, если в этом есть необходимость.

9. Построить график.

2.Возрастание и убывание функций

Ранее рассматривалось свойство монотонности функции. Повторим.

Функция называется возрастающей на промежутке ID(f), если выполняется условие: и неубывающей, если . Функция называется убывающей на промежутке ID(f), если выполняется условие: и невозрастающей, если .

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции на промежутке ID(f) называются монотонными на этом промежутке, а возрастающие и убывающие – строго монотонными.

Установим условие возрастания и убывания функции.

Теорема: Если функция y=f(x) дифференцируема и f(x)0 (f(x) 0) на интервале (a;b), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале. При f(x)>0 (f(x)<0) функция возрастает (убывает).

Пример: Найти промежутки монотонности функции .

Функция определена при . Её производная равна Значит данная функция возрастает на интервалах , убывает на интервале

Замечание 1: Если функция непрерывна в каком-либо из концов интервала возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

Замечание 2: Если функция в какой-либо точке интервала имеет производную, равную 0, то эту точку можно присоединить к промежутку возрастания (убывания).

Например, .

Пример: Найти промежутки монотонности функции .

функция возрастает при в силу замечания 1, функция убывает при .

Замечание 3: Если функция возрастает (убывает) на интервалах , то она может не обладать этим свойством на объединении промежутков. Например, функция

Замечание 4: Если функция во всех точках интервала имеет производную, равную 0, то f(x) – постоянная.

3.Критические точки

Определение: Внутренние точки области определения, в которых производная равна 0 или не существует,

называются критическими.

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

Пример: Найти критические точки функции :

а) при х=2 – критическая точка. f(x) не существует при х=0, но она не является критической, т.к. не принадлежит области определения.

б) не существует при х=0. Но не является критической, т.к. не является внутренней точкой области определения.

Критические точки, в которых производная равна 0, называются стационарными