3. Составление системы канонических уравнений

Из выбранной статически определимой основной системы выделяют грузовое состояние (ГС) и единичные состояния (ЕС). В грузовом состоянии на основную систему действуют только внешние нагрузки. Для образования i-ого единичного состояния из основной системы убираются все внешние нагрузки, а в направлении отброшенной i-ой связи прикладывается приведённое единичное усилие. Если в качестве неизвестной выбрана сила, то усилие безразмерное, если – момент, то размерность единичного приведённого усилия (1/м).

Для один раз (n = 1) статически неопределимой балки (рис. 4а) выберем основную систему (рис. 4б), заменив в заданной системе стержневую связь в точке В на неизвестную реакцию R_В = X₁ . Согласно принципу независимости действия сил, представим основную систему в виде суммы грузового и единичного состояния, в котором единичное усилие увеличено в X₁ раз (рис. 4в, 4г).

рис. 4

В направлении отброшенной связи в грузовом состоянии возможно перемещение _1P (рис. 4в), в единичном состоянии - (рис. 4г). Необходимо подобрать величину реакции R_В = X₁ так, чтобы суммарное перемещение ^.от внешней нагрузки (_1р) и единичного усилия , увеличенного в X₁ раз, было равно нулю, так как в действительности в заданной системе в этом направлении перемещений нет, то есть:

Условие зависимости деформаций (2) называется каноническим уравнением и является условием эквивалентности заданной и основной систем. Число канонических уравнений совпадает с числом лишних отброшенных связей.

4. Определение коэффициентов канонических уравнений

По физическому смыслу коэффициенты канонических уравнений являются перемещениями, которые определяются с помощью интеграла Мора. Операция интегрирования обычно называется перемножением эпюр и символически изображается знаком «х»:

где , , - функции моментов в единичных и грузовом состояниях, m – количество участков на эпюре, - изгибная жесткость стержней. Первый индекс обозначает номер отброшенной связи, второй – номер состояния.

Интеграл Мора может быть вычислен по формуле Симпсона (4) или Верещагина (5) [1, с.86]:

где l - длина участка, на котором интегрируются («перемножаются») функции моментов, буквы «л», «с», «п» означают левое, среднее и правое значения моментов на участке (рис. 5а). Знак произведения положительный, если оба значения на эпюрах , лежат по одну сторону от оси балки.

рис. 5

Согласно правилу Верещагина интеграл Мора равен произведению площади одной эпюры на ординату под её центром тяжести , взятую на другой эпюре. Если одна из эпюр является криволинейной, то вычисляется её площадь:

На рис. 3б показан пример перемножения двух треугольников (рис. 5б), где - площадь первого треугольника, - ордината второго треугольника, взятая под центром тяжести С первого треугольника. Суммирование ведётся по всем стержням, а интегрирование - по длине каждого участка эпюры моментов. По теореме Максвелла о взаимности перемещения [1, с.82] коэффициенты, симметричные относительно диагонали, в канонических уравнениях равны между собой, то есть δ_ij = δ_ji . Для дважды статически неопределимой системы (n = 2 ,δ₁₂ = δ₂₁).

Построим эпюры моментов в грузовом и единичном состояниях для задачи на рис. 4 и вычислим коэффициенты канонического уравнения (2):

рис. 6

Вычислим коэффициенты по формуле Симпсона:

,

или с помощью формулы Верещагина:

,