10.3. О цифровой обработке сигналов на основе вейвлетов

Теорема Котельникова указывает на возможность осуществления полного восстановления временно́́го сигнала с ограниченным спектром по дискретному наборуотсчетов сигнала, где, а– интервал дискретизации. Нечто подобное имеет место в области дискретного вейвлет-преобразования.

Однако данные, которые используются для восстановления , теперь уже не его значения, взятые в равноотстоящие моменты времени, а соответствующим образом выбранные значения вейвлет-преобразования сигнала. Несмотря на то, что указанное вейвлет-преобразование содержит комбинированную информацию об анализируемом сигнале и анализирующем вейвлете, оно позволяет получить объективную информацию о самом сигнале. Это связано с тем, что свойства вейвлет-преобразования (линейность, инвариантность относительно сдвига и изменения масштаба, правила дифференцирования) не зависят от выбора анализирующего вейвлета. При этом сигналкодируется в его вейвлет-преобразование с очень большой избыточностью. Дело в том, что спектрописывается поверхностью в трехмерном пространстве (рис. 10.5). Поэтому при дискретизации параметровипо наиболее часто используемому правилу двойки, т.е. когдаии плоскостьпревращается в своего рода сетку, вейвлет-спектр можно представить в виде «леса» вертикальных отрезков с амплитудами, равными коэффициентамв точках с координатами. При таких обстоятельствах дискретного множествазначений уже достаточно для восстановления данного, причем даже без предположения об ограниченности спектра временно́го сигнала.

В теории вейвлет-преобразований имеется теорема, похожая на теорему Котельникова, но, правда, менее определенно отвечающая на вопрос о числе отсчетов, необходимых для восстановления сигнала с известными длительностью и шириной спектра. Более того, теорема говорит даже не об отсчетах, а об избыточном наборе вейвлет-функций (фрейме), достаточном для гарантированного представления сигнала.

Пусть параметрами сетки на -плоскости, используемой для дискретизации функции(формирования "леса" отсчетов), являются: шаг растяжения(обычный выбор) и базовый шаг по оси времени(хорошим выбором считается), причем,. При таких обозначениях смысл доказанной в теоремы сводится к следующему:

Если преобразование Фурье вейвлетаимеет компактный носитель в интервалеи если

,

то набор (семейство) функций,соответствующий шагу растяженияи произвольному базовому шагу, является гарантировано достаточным для обеспечения представления и восстановления вещественнозначных временны́́х сигналов.

В подавляющем большинстве случаев результаты вейвлет-преобразований могут быть получены только с использованием цифровой обработки. Соответственно используется дискретное вейвлет-преобразование.

При этом параметры идискретизируются по своим правилам (чаще всего с использованием диадной сетки), а сигналы и сами вейвлеты дискретизируются во времени в соответствии с теоремой отсчетов, т.е. с шагом, где– максимальная частота в спектре сигнала (вейвлета), при смещении его в область «нулевых» частот.

Если число дискретных отсчетов сигнала составляет , то максимальное значениев формулебудет равно. Наибольшее значениев формулепри текущем значенииопределяется из выражения. Например, для, т.е. когда, число сдвиговбазисного вейвлета составит, а с каждым последующим значениемвейвлетрасширяется в два раза, а число сдвиговуменьшается в два раза, пока при максимальном значениисдвиг делается ненужным, поскольку один вейвлет«накрывает» весь интервал существования сигнала (рис. 10.2 и рис. 10.6).

Прогресс использования вейвлетов в самых разных приложениях связан с возможностью быстрого вейвлетного преобразования. Такое преобразование удается реализовать, если тщательно выбран материнский вейвлет .

Как временные функции, вейвлеты применяются в основном для демонстрации сущности декомпозиции (разложения на составляющие) и восстановления сигналов в ходе вейвлет-преобразований. Они позволяют наглядно показать, что с целью создания эффективных алгоритмов для определения интегрального вейвлет-преобразования и для восстановленияпоцелесообразно использовать только дискретные выборки. При этом предпочтение следует отдать разбиению частотной оси на диапазоны частот, используя степени 2 для масштабирования параметра, и рассмотрению только моделей с двухпараметрическими значениямина временно́́й оси при, где, вместо произвольных действительных значений. При таком единообразном дискретном моделировании во многих применениях потери оказываются минимальными.

Но практическая реализация обработки и представления реальных сигналов обычно базируется на частотном подходе к вейвлет-преобразованиям. Это позволяет использовать аппарат частотной фильтрации и метод быстрого вейвлет-преобразования, основанный на прореживании спектра вейвлетов по частоте.

Для осуществления быстрого вейвлет-преобразования частотная область вейвлетов разбивается на область высоких и область низких частот. Частота раздела этих областей равна половине частоты дискретизации сигнала. Разделение могут обеспечить два фильтра с одинаковой граничной частотой – низкочастотный и высокочастотный. Ко входам этих фильтров подключается сигнал . Низкочастотный фильтр выделяет составляющие спектра сигнала, важные для грубого приближения (аппроксимации) сигнала, а высокочастотный фильтр – составляющие, без которых невозможна детализация.

Полосы пропускания фильтров можно выбрать равными, что будет соответствовать делению общей полосы спектра сигнала на два. Сигнал с одного из фильтров (обычно с выхода низкочастотного фильтра) в свою очередь подается на два фильтра, сигнал с одного из которых (с низкочастотного) подается на входы следующих двух фильтров и т.д.