38. Векторное произведение двух векторов и его свойства.

 Векторным произведением двух векторов   и   называется новый вектор  , модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах   и  , приведенных к общему началу, и который перпендикулярен к перемножаемым векторам и направлен в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от   к   вокруг полученного вектора   представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора  .

Если векторы   и   коллинеарны, то их векторное произведение считается равным нулевому вектору. Из этого определения следует, что

| | = | | |  | sin ,

где   - угол между векторами   и   (0    ). Векторное произведение векторов   и   обозначается символом

 х   или [   ] или [ ,  ].

Выясним физический смысл векторного произведения. Если вектор   изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор   идет из некоторой точки О в точку М, то вектор   =[ ] представляет собой момент силы   относительно точки О.

Свойства векторного произведения

1 . При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е.

 х  = -(  x  ).

2.

(   )х   =  х(   )= ( х  ), где  - скаляр.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, т.е.

( + ) x  = x   +  x .

4. Если векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору, то либо равен нулевому вектору хотя бы один из перемножаемых векторов (тривиальный случай), либо равен нулю синус угла между ними, т.е. векторы коллинеарны.

Обратно, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора   и   были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулевому вектору:

х  =0

(  х   еще называют векторным квадратом вектора  .

39. Смешанные произведения трех векторов и его свойства. Объем пирамиды.

Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве.

Смешанным произведением трех векторов (a b с) и называется действительное число, равное скалярному произведению векторов(a*b) и c, где(a b ) - векторное произведение векторов a и b .

Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением.

Смешанное произведение векторов   и   обычно обозначают  . В таких обозначениях по определению смешанного произведения  .

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: где S – площадь основания, H – высота пирамиды. Объем V усеченной пирамиды может быть найден по формуле где H – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади ее оснований.

40. Радиус-вектор точки . Координаты вектора.

Радиус-вектор точки - это называется вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой. Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где   — координаты вектора.