46. Дать определение СП с независимыми отсчетами, марковского СП, СП с независимыми приращениями. C независ.и отсчетами- любая совокупность значений (отсчетов), взятых в произвольные моменты t, принадлежащие множ.Т, независима,т.е. , , .Марковский СП-статистич. связи распространяются лишь на два соседних отсчета: .по представлению многомерной ПВ через условные ПВ: ,а т.к , то ясно, что для марковского процесса многомерная ПВ выражается через двумерные ПВ. СП с независимыми приращениями, для кот-го СВ 2 – 1,…, n – n-1 независимы для любых n и t1,…, tn  T.(i – значение СП в м. ti).т к. ПВ разности двух СВ выражается через их совместную ПВ, то для полного вероятностного описания СП с независимыми приращениями достаточно знания двумерной ПВ.

47. Дать определение СП, стационарного в широком и узком смыслах. СП (t) строго стационарен (стац. в узком смысле), если его ФР, ПВ или ХФ при любых , n и t1,…, tn  T инвариантны к сдвигу моментов t1,…, tn на величину , т. е. .Аналогично для ФР и ХФ.СП стационарен в широком смысле (по Хинчину), если выполняются:1) m1(t) не зависит от t,т.е. m1(t)=const;2)КФ K(t1, t2) зависит лишь от разности t1– t2=, т.е. K(t1,t2)=K(t1– t2)=K().Из 2) следует:D(t) = K(t, t) = K(0) = const.

48. Дать определение эргодического СП. Как для эргодического СП определить математическое ожидание и корреляционную функцию путем усреднения по времени? Эргодический-Стац. в узком смысле пр,если любые его вероятностные хар-ки, найденные на основе стат. усреднения, по множеству реализаций, с вероятностью сколь угодно близкой к единице совпадают с соответств.средними по t. Т.е, если известна одна единств. реализация пр. для , то путем сдвигов по t можно получить бесконечный статист. ансамбль реализаций. Следовательно, по одной реализации можно узнать возможные вероятностные хар-ки. Эргодическим СП, для кот-го . При таком опр. СП может быть эргодическим, но нестац. Если и не зависит от х1, то пр. (t) -эргодический.(нужно, чтобы отсчеты стац. Пр. в любые t1 и t2 при t1– t2  становились бы незав-ми.

49. Что называется квазидетерминированным СП? Привести примеры. Кв. пр.- совокупность ф-й времени t заданного вида , зависящих от случ. параметра – случ. вектора. Иногда такие СП называют элементарными сл. функциями.1) , гдеА,,–СВ с совместной ПВ W (А,, ).2)сигнал вида ,представляющий группу из N радиоимпульсов с нес.частотой ₀, сдвинутых друг относит. друга на Т, имеющих детерм. огибающуюS₀(t) и случ.амплитуды A_i,> 0 и фазы, _i[–, ],определяемые ПВ . При прохождении s(t) многолуч. канала на входе приемника наблюдается процесс вида , где{A_i; _i}, i= 1,.., M – совокупность случ. амплитуд A_i, определяемых ослаблением сигнала в соотв. луче, и случ. задержек _i, связанных с запаздыванием сигнала при распространении.

50. Как связаны между собой кф и спектр. Плотность стац.Сп?Свойства кф и спектр. Плотности стац.Сп.

ThВинера–Хинчина:КФ и спектр. плотность связаны друг с другом преобр.Фурье

; Св-ва:1)S(f),как пр.Фурье четной ф.K()-вещ.четн. ф-я. 2)Т.к. S(f)-распределение по спектру неотриц.хар-ки СП–дисперсии,S(f)0.=>3)КФ должна иметь неотриц.преоб.Фурье. 4)КФ стац. СП должна быть четной ф-ей ,т.е. K(–) = K().5)Справедливо:K(0)=D(t)=²  |K()|, т.к. 6)т.к. S(f)  0,то |S(f)|=S(f). =K(0)- для периодич.СП, Для непериод.СП K() с ростом  ->к 0 апериодич. или совершая затух. колебания.

51.Сформулируйте теорему Винера-Хинчина. Как, зная спектральную плотность стационарного сп, найти его дисперсию?

теорема Винера-Хинчина:

КФ и спектральная плотность связаны друг с другом преобразованием Фурье.

, .

Учитывая, что K(0) = D(t) = , можно утверждать, что спектральная плотность S(f) определяет в общем случае распределение дисперсии СП по частоте.

52. Доказать утверждения: =D; .

K(0) = D(t) = ²  |K()|, поскольку

.

Напомним, что так как S(f)  0, то | S(f) | = S(f). Знак равенства в полученном соотношении  K(0) достигается для периодических СП. Для непериодических СП K() с ростом  стремится к нулю апериодически или совершая затухающие колебания.

53.Как определяется время корреляции и эффективная ширина спектра для стационарного сп? Сформулировать соотношение неопределенности для стационарного сп.

Числовой характеристикой спектральной плотности S(f) является эффективная ширина спектра СП f_э, определяемая как для СП, у которых S(f) группируется около нулевой частоты, т. е. видеопроцессов (см. рис. 23, а), и , если S(f) группируется около частот f₀, где – средняя или центральная частота (см. рис. 23, б). Такие СП называются радиопроцессами.

Для неотрицательных корреляционных функций _к определяют как , если . Более общим, включающим и приведенное определение, будет представление _к в виде .

Можно определить _к3 как такое значение , начиная с которого будет выполняться неравенство |r()| < , где 0 <  < 1. Обычно задаются значением  = 0,05.

соотношение неопределенности, заключающееся в том, что произведение ширины спектра и времени корреляции равно константе, величина которой зависит от определения f и _к. Так, для

,

поскольку и .

54. Какой процесс называют «белым» шумом? Какой вид имеют и для данного процесса?

“Белый” шум.

Для “белого” шума S(f) = и K() = (). Как процесс, имеющий дисперсию (среднюю мощность), равную бесконечности, он является математической абстракцией, удобной для проведения расчетов.

54. Какой процесс называют финитным «белым» шумом? Какой вид имеют и для данного процесса?

Финитный “белый” шум.

Этот процесс имеет спектральную плотность вида и (рис. 24, б). Дисперсия процесса равна K(0) = N₀F.

54. Дать определение узкополосного процесса. Какой вид в общем случае имеет кф узкополосного сп? При каких условиях кф узкополосного сп имеет вид ?

для СП можно выделить класс узкополосных СП, удовлетворяющих условию f << f₀, где f – ширина СПМ, а f₀ – ее центральная частота.

,

где – огибающая КФ узкополосного процесса, а () – фаза КФ

Огибающая КФ является четной функцией , а () – нечетная функция.

Если СПМ симметрична относительно частот  f₀, то = = = будут четными функциями, следовательно, будет иметь место равенство и КФ узкополосного процесса примет вид:

K() = , где .

57. Какой вид имеет стационарного СП с дискретным энергетическим спектром?

.

58. Чему равна корреляционная функция линейной комбинации независимых центрированных случайных процессов? Ответ аргументировать.

линейная комбинация независимых случайных процессов.

. Так как процессы представляют линейную комбинацию, то двойной интеграл сводится к произведению интегралов, не зависящих друг от друга.

59. Чему равна спектральная плотность суммы независимых центрированных стационарных случайных процессов?

60. Что такое телеграфный сигнал? Какой вид имеет его КФ?

Случайный процесс, называемый телеграфным сигналом, может принимать только два значения: +u и –u, а моменты перемены знака – случайны. Пример реализации такого процесса приведен на рис. 25.

61.Дать определение непрерывности СП в точке.

Случайный процесс (t) называется непрерывным в точке t в среднеквадратическом, если . Если это условие выполняется для всех t  [a, b], то процесс (t) называют непрерывным на этом интервале. Необходимым и достаточным условием непрерывности процесса в точке t является непрерывность его корреляционной функции K_(t₁, t₂) при t₁ = t₂ = t. Для стационарного процесса это означает непрерывность корреляционной функции K_() в нуле.