42. Приведите классификацию случайных процессов в зависимости от характера области определения и области значения сп.

Классификацию СП можно осуществить по характеру множеств Т и Ф и виду статистической связи между значениями СП, соответствующими различным моментам времени t  T. В зависимости от характера множеств Т и Ф случайные процессы можно разделить на четыре класса: 1.Процессы с дискретными состояниями и дискретным временем (дискретные случайные последовательности); 2.Процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем (дискретные СП);

3.Процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем (случайные последовательности); 4.Процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.

4 3. Какие характеристики дают полное статистическое описание сп?

Для стационарного СП в качестве характеристики в частотной области используется преобразование Фурье от КФ

,

называемое спектральной плотностью СП. Если СП (t) описывает случайный ток, случайное напряжение или случайную напряженность поля, то S(f) называют спектральной плотностью мощности (СПМ) или энергетическим спектром флуктуаций процесса (t). Флуктуациями называют отклонение значений процесса (t) от среднего значения.

К орреляционная функция выражается через спектральную плотность мощности с помощью обратного преобразования Фурье:

,

Формулы (5.1) и (5.2) определяют содержание теоремы Винера–Хинчина, утверждающей, что КФ и спектральная плотность связаны друг с другом преобразованием Фурье.

Учитывая, что K(0) = D(t) = , можно утверждать, что спектральная плотность S(f) определяет в общем случае распределение дисперсии СП по частоте. Для случайных напряжения и тока S(f) описывает распределение средней мощности, выделяемой на резисторе с сопротивлением 1 , по спектру.

44. Записать выражения для математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции произвольного СП. Верно ли равенство = ?

Наиболее часто для описания СП используют математическое ожидание (среднее значение) случайного процесса (t) , где t  T и корреляционную функцию (КФ):

,

где t₁, t₂  T

Д ля того, чтобы функция K(t₁, t₂) была бы корреляционной функцией случайного процесса, она должна быть ядром симметрического положительно определенного интегрального оператора, т. е. K(t₁, t₂) = K(t₂, t₁) и

для любых x(t)  L₂, откуда следует, что K(t, t) > 0.

4 5. Как определяется взаимная корреляционная функция сп и ?

Если имеется два случайных процесса (t) и (t), то можно ввести в рассмотрение взаимную корреляционную функцию:

.

Эта функция также положительно определена, но не симметрична, так как K_(t₁, t₂) = K_(t₂, t₁). ^ Положительная определенность не означает, что функции K_(t₁, t₂) и K_(t₁, t₂) не могут принимать отрицательные значения.