19.Как в общем случае решается задача отыскания пв совокупности функционально преобразованных св?

20. Как определяется совместная функция распределения совокупности случайных величин? Какие ее свойства вам известны? Как определяется совместная плотность вероятности совокупности случайных величин? Какие ее свойства вам известны?

совокупность m функций, определенных на одном и том же множестве элементарных событий, называется m - мерной случайной величиной .

Многомерная случайная величина полностью определяется ее функцией распределения вероятностей .

Св-ва:

1. 0 є F (x₁,…,x_m) є 1;

2. F(x₁,…,x_m) не убывает по каждому аргументу;

3.

4. где F(x_i) - функция распределения одномерной случайной величины .

5. Одномерные случайные величины и называются независимыми, если их совместная (двумерная) функция распределения равна произведению одномерных функций распределения

F(x_i, x_j)=F(x_i)F(x_j)

21.Как определяется ХФ совокупности случайных величин? Характеристическая функция определяется для многомерных СВ как многомерное преобразование Фурье совместной ПВ случайных величин

= ,

22.Доказать, что характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Преобразование Фурье ПВ определяет характеристическую функцию (ХФ) СВ = . Обратное преобразование Фурье позволяет выразить ПВ через ХФ .

Различие знаков в показателе экспоненты для прямого и обратного преобразования по сравнению с обычно используемым несущественно.Таким образом ХФ суммы независимых СВ и есть произведение ХФ слагаемых, т.е. = .

23.В чем состоит условие согласованности высших и низших фр и пв?

Если часть переменных функции равна , т.е. эти переменные могут принимать любые значения, мы будем иметь ФР остальных не равных переменных. Если же хотя бы один из аргументов ФР равен , то она равна нулю, как вероятность произведения случайных событий, одно из которых, , является невозможным. Как и одномерная ФР, многомерная ФР является неубывающей функцией по каждому из аргументов.

Аналогично одномерному случаю, определяется непрерывный случайный вектор (непрерывная многомерная СВ), если существует неотрицательная функция такая, что при любых

= ,

и = .

При использовании обобщенных функций понятие ПВ можно распространить и на дискретные многомерные СВ. Как и одномерная, многомерная ПВ удовлетворяет условию нормировки

.

Если многомерную ПВ проинтегрировать по всем значениям одной из переменных, то получим ПВ остальных СВ, т.е.

.

Для ФР это эквивалентно тому, что мы положили . Эти свойства называются согласованностью высших и низших ФР и ПВ.

24.Можно ли, зная и , найти совместную плотность вероятности величин X и h?

В общем случае совместная ПВ случайных величин и записывается в виде

= = .

25.В каком случае св являются независимыми? Как записываются совместные фр и пв для совокупности независимых св? Как записываются хф для совокупности двух независимых св?

Если ПВ случайных величин и не зависит от того, какое значение приняла другая из величин, то такие СВ называются независимыми.

Совместная ПВ для независимых СВ =

ФР : ,

где

Из определения многомерных ХФ(см вопрос 21) видно, что если СВ независимы, т.е. = , то переменные в многомерном интеграле, определяющем , разделяются и

= .