1.Определение вероятности.

(Класс-е)Представляет, ч то все события симметричны.

Вероятность события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.P(A)=M/NN-все( не применяется, когда число исходов бесконечно)

Вероятность-число., характер.степень возможности появления события.

Свойства:1)Вер-ть достоверного события=1

2)Вер-ть невозможного соб-я =0

3) Вер-ть случайного события есть пол-е число, заключенное между 0 и 1

Вер-ть любого события0=<P(A)>=1

Частное(некласс опред-е)-когда повторяем события несколько раз вероятность подвигается к реальности.

Статистическая В.соб-я принимают относительную частоту или число, близкое к ней

Геометрическая В.-мно-то исходов( бесконечно много)В. Попадания точки в область..P(A)=S(A)/SΩ

Частное определение вер-ти-Частота, приближ. К его реальному исходу.

Частное опр-е- частота стремится к вероятности.

2. Полная группа событий. Несовместные и противоположные события. Сложение вероятностей несовместных событий.

Сумма соб-й_ называется события, наступившие при наступление хотя бы 1-го из них.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместимых событий, безразлично какого,= сумме вероятностей этих событийP(A+B)=P(A)+P(B)

ВВЕроятность появления одного из нескольких попарно несовместимых событий, безразлично какого,= сумме вероятностейэтих событий.

P(A+B)=0-несовместимые.

2 события А и В наз-ся несовместимыми если наступление одного из них в одном и том же опыте исключают появление другого.( В противоположном случает- совместимые)

Несколько событий образуют полную группу событий если они являются единственного возможными и несовместными событиями.

Сумма вероятностей событияА1 А2, образующих полную группу=1

Полная группа несовместимых событий-такой набор событий, про котором события несовместноы и хотя бы одно их них наступает обязательно.

Противоположные события-2 независимых события образующих полную группе наз-ся противопол(Несовместим.)

Сумма 2 событий это событиеАВ А+В=С которое происходит , если происходит или осбытие А или событиеВ и событие АиВ одновременно.Для Несовместимых Соб-й только ИЛИ.АUВ=А+В

Если соб-я А иВ несовместимы, тогда вероятность того, что проийдёт событие P(A+B)=P(A)+P(B)

Для противоположных:P(A+A*)=P(Ω)=1

3. Произведение событий. Условная вероятность. Независимые события.

Независимые соб-я:Событие В наз-я независимым от события А, если появление соб-я А не изменяет вероятность события В.

2 события наз-ют независимыми, елси вероятность их совмешения= произведениювероятностей этих событий : в противном случае- зависимые события.

Несколько событий называют попарно независимые , если каждые два из них независимые.

Условная вероятность: вер-ть события В, вычисленную в предложении, чьл событиеА уже наступило.

Произведение событий: двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появление этих событий

Произведение нескольких событий –соб-е состояшее в совестном появление всех этих событий.

4. Формула полной вероятности. Сложение вероятностей совместных событий.

2 соб-я наз-ся СОВМЕТНЫМИ , если появление одногоиз нихне исключает появление другого в одном и том же испытание.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных = сумме вероятностей этих событий без вероятности совместного появления.

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Док-во: Поскольку события А и В, по условию, совместны, то события А+В наступит, если наступит одно из следующих трёх несовместимых событий: АВ*,*АВ, или АВ. ПО теореме сложения вероятностей несовместимых обытий(ТСНС):P(A+B)=P(*AB)=P(AB*)+P(AB).Событие А произойдёт, если наступит одно из двух несовместимых событий: АВ* или АВ. По ТСНС P(A)=P(FA*)+P(AB) Отсюда P(AB*)=P(A)-P(AB) аналогично P(B)=P(*AB)+P(AB) отсюдаP(*AB)=P(B)-P(AB) Окончательно получим: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A/B1)*P(B1)+P(A/B2)*B2+…P(A/Bn)*P(Bn)

Теорема:Ве-ть события А,которое может наступить лишь приусловии появление одного из несовместимых событий В, В1..Вn.образующих полную группу, = сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность событияА.P(A)=P(B1)Pb1(A)+…P(Bn)Pbn(A)

5. Формулы Байеса с выводом.

Вероятность гипотез. Формула Бейеса.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых.P(B1)P(B2),P(B3)Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

откуда

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.

Ф.Б позволяют переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытаний, в итоге которого появилось событие А.

6. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей.

Случайныевелечины-это переменная величина, которая в рузультате опытаможет принять то или иное чистовое значение.это число получ. Случайн. Механизмом.

Дискретные велечины-(прерывной) называют случ. Велечину, котора принимает отдельные, изолированные возможные значениес определенными вероятностями.Число возможных значенийдискретной случайной велечины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случ. Велечину, которяможет принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, чиловозможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Закон распределения вероятностей. Сапо-т каждому значению(числу ) некот. Вероятности.

Законом рапределения дисретной случайной велечины:называютсоответстиемежду возможнымизначениями и их вероятностями;его можно таблично, аналитически (в виде формул) и графически.