Глава III.

Динамика невязкой жидкости (продолжение)

3.1. Интегралы Лагранжа и Эйлера

Из дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости [1]

(3.1)

можно получить не только интеграл Бернулли. Для случая безвихревого движения невязкой жидкости возможно получить еще два интеграла – уравнения Эйлера и Лагранжа.

Для их вывода преобразуем выражение ускорения . Произведем выкладки для плоского течения, а затем обобщим полученный результат на пространственный случай.

Запишем ускорение через местную и конвективную составляющую, добавив и вычтя в этом выражении член :

.

Перегруппировав члены в правой части этого выражения, получим

.

В свою очередь

.

Используя выражение для проекции угловой скорости _z, получим

.

С учетом сделанных преобразований, запишем проекции уравнения движения на ось x в виде

. (3.2 а)

Легко видеть, что для плоского течения . Обобщая этот вывод на пространственный случай течения, будем иметь

, (3.2 б)

. (3.2 с)

Уравнения (3.2 а-с), в которых в явной форме выделены кинематические особенности течения (угловые скорости) называются дифференциальными уравнениями в форме Громеко. В ряде случаев они более удобны для интегрирования, чем дифференциальные уравнения в форме Эйлера.

Для безвихревого течения жидкости справедливы следующие соотношения:

. (3.3)

а также для массовых сил

, (3.4)

откуда потенциал массовых сил U получаем в виде .

Подставив равенства (3.3) и (3.4) в уравнения (3.2 а-с), учитывая, что

,

и перенося члены правой части в левую, будем иметь:

(3.5)

Из системы уравнений (3.5) следует, что сумма четырех слагаемых в квадратных скобках не зависит от координат, но является функцией времени. С учетом этого получим интеграл Лагранжа для неустановившегося потенциального течения

. (3.6)

Функция времени F(t), как правило, находится из граничных условий задачи.

Рассмотрим частный случай установившегося потенциального течения, в котором , а скорость и давление не зависят от времени

, (3.7)

где постоянная одинакова для всех точек потока. Этот интеграл называется интегралом Эйлера. Его физический смысл тот же, что и для интеграла Бернулли: это выражение закона сохранения энергии.

Видно, что по форме интегралы Эйлера и Бернулли совпадают, но между ними, подчеркнем, имеется существенная разница: в интеграле Эйлера для всего потока, а в интеграле Бернулли она постоянна лишь только вдоль линии тока.

3.2. Коэффициент давления и его свойства.

Для решения многих практических задач необходимо знать характер распределения гидродинамических давлений по поверхности тела. При продольном движении удлиненных тел вязкость мало влияет на величину давления, что позволяет применять интеграл уравнений движения невязкой жидкости в форме уравнения Бернулли [1]:

(3.8)

Р ассмотрим продольное обтекание тела вращения потоком жидкости со скоростью v₀ (рис.11); давление в невозмущенном потоке p₀. Линия тока ABCDE, идущая из бесконечности, разветвляется на теле в точке B, снова соединяется в кормовой точке D и уходит в бесконечность (точка E).

Определим характер изменения скорости и избыточного гидродинамического давления вдоль этой линии тока, записав интеграл Бернулли (3.8) для точки и произвольной точки C на линии тока

;

отсюда

. (3.9)

Зависимость (3.9) дает закон изменения избыточного давления вдоль линии тока в зависимости от скорости. Приведем ее к безразмерному виду, разделив обе части на величину , называемую скоростным напором набегающего потока

, (3.10)

где , безразмерная величина, коэффициент давления. Выясним основные свойства этого коэффициента. Правая часть выражения для не содержит плотности жидкости . Отсюда следует, что коэффициент давления не зависит от рода жидкости. Это широко используется в экспериментальной практике, так как позволяет сравнить результаты испытаний тел в различных жидкостях, например в воде и воздухе. В аналогичных условиях обтекания коэффициенты давления при этом одинаковы. Сами давления в воде и воздухе, очевидно (при одинаковых скоростях), резко отличны в силу большой разницы в плотностях жидкостей . Скорость v в любой точке потока прямо пропорциональна скорости набегающего потока, поэтому отношение - есть безразмерная функция, зависящая только от формы тела и координат точки потока (при обтекании тела вдали от свободной поверхности жидкости). Этим свойством коэффициента давления также пользуются в экспериментальной гидроаэромеханике. Отмеченные два свойства коэффициента давления полностью справедливы для невязкой жидкости, однако, приближенно они имеют место и при обтекании удлиненных тел маловязкой жидкостью.

У становим характер распределения коэффициента давления вдоль линии тока ABCDE по верхней образующей тела. В бесконечности перед телом , , т.е. =0. По мере передвижения частицы жидкости из бесконечности к телу ее скорость непрерывно уменьшается; соответственно увеличивается , как показано на рис.12. В точке B носовой оконечности, где происходит разветвление линий тока, скорость жидкости в силу физического условия однозначности поля скорости. Точки в потоке, в которых скорость обращается в нуль, называются критическими. В критической точке =1, .

Далее вдоль поверхности тела скорость потока возрастает. В точке M на поверхности тела скорость жидкости будет равна скорости набегающего потока , и коэффициент давления обратится в нуль . За этой точкой в районе максимальной толщины тела (точка C), где стеснение потока наибольшее, располагается область, в которой скорости жидкости больше скоростей набегающего потока. В зоне, где скорости , коэффициент давления отрицателен — это зона разрежения. Подчеркнем, что абсолютное давление в зоне разрежения всегда больше нуля.

В точках за максимальным сечением тела скорость начинает уменьшаться, а увеличиваться. В точке D кормовой оконечности тела происходит соединение линий тока, идущих по нижней и верхней поверхностям тела, и, в силу однозначности и конечности поля скоростей, эта точка также является критической. В дальнейшем вдоль линии тока наблюдается непрерывное нарастание скорости до значения , и коэффициент давления изменяется от единицы до нуля.

Такой характер распределения давления соответствует данным опытов по изучению обтекания тел потоком жидкости, однако для вязкой жидкости в кормовой части тела кривая распределения коэффициента давления идет немного ниже, как показано штриховой линией на рис.12. Уменьшение коэффициента давления в корме связано с расходом энергии потока при обтекании тела на преодоление сопротивления трения тела в вязкой жидкости.