4. Плоский циркуляционный поток (вихрь)

Если в жидкости поместить бесконечно длинный прямолинейный вихрь, то вокруг него образуется поток, в котором частицы жидкости будут двигаться по концентрическим окружностям с постоянной для каждой окружности скоростью (рис.11). Такое течение называется плоским циркуляционным потоком.

Для определения скорости в произвольной точке потока вычислим циркуляцию  по окружности произвольного радиуса r, на которой скорость постоянна и равна V:

,

откуда можно выразить скорость

.

Так как в соответствии с теоремой Стокса циркуляция равна интенсивности вихря, то она постоянна и одинакова для окружности любого радиуса. Если учесть, что =const, из последней формулы следует, что скорости в потоке, окружающем вихрь, убывают обратно пропорционально радиусу r.

Несмотря на то, что данное движение вызвано вихрем, оно потенциально, в чем нетрудно убедиться, подставляя полученное значение скорости V в формулы для проекций угловых скоростей вращения частицы, полученные ранее в главе «Кинематика жидкости» [1].

Если рассматривать движение в цилиндрической системе координат с началом на оси вихря, то получим радиальную составляющую скорости , а окружная составляющая скорости V_ будет иметь вид

. (2.12)

Несмотря на то, что эта проекция скорости обозначается индексом , она не может быть найдена как производная от потенциала по , так как  является углом, а не направлением. На рис.12 показан элементарный прямоугольный треугольник, связывающий  с l – направлением, вдоль которого направлена скорость V_. Из рис.12 следует

.

С учетом этого

. (2.13)

Здесь стоят полные производные вместо частных, так как составляющая скорости вдоль направления r равна нулю.

Из (2.12) и (2.13) следует, что , что после интегрирования дает потенциал скорости плоского циркуляционного потока

, (2.14)

где  - величина, постоянная для данного потока.

4. Обтекание кругового цилиндра.

Поперечное обтекание бесконечного кругового цилиндра поступательным потоком является плоскопараллельным течением, которое можно свести к рассмотрению обтекания круга в плоскости xy.

Расчет обтекания цилиндра выполняется методом сложения простейших потенциальных потоков – поступательного потока вдоль оси x (1.1.8) и плоского диполя в начале координат (1.1.12).

Потенциал суммарного потока имеет вид

,

но его удобнее записать в полярной системе координат 

. (3. )

Функцию тока этого течения также можно получить сложением функций тока составляющих (1.1.9) и (1.1.13).

. (3. )

Приравнивая функцию тока нулю, можно получить уравнение нулевой линии тока

.

У этого уравнения два решения, первое

дает прямую линию, совпадающую с осью x, второе

(3. )

дает выражение для 

. (1.2.4)

Так как момент диполя и V₀ – постоянные величины, то если обозначить

, (1.2.5)

то из (1.2.3) получим уравнение окружности радиусом ₀ с центром в начале координат (рис.4).

Рис. 4

Если заменить эту линию тока твердым телом, то на его поверхности будет выполняться условие непротекания

,

так как нормаль к окружности - это ее радиус.

Таким образом, мы доказали, что потенциал (1.2.1) описывает обтекание кругового цилиндра потоком невязкой жидкости.

Выразим момент диполя через радиус цилиндра из (1.2.5):

,

тогда потенциал течения примет окончательный вид

. (1.2.6)

Из (37) можно получить выражения для скоростей V_ и V

, (1.2.7)

, (1.2.8)

откуда видно, что при =₀, то есть на поверхности цилиндра,

, .

Полная скорость на поверхности цилиндра

,

при этом безразмерная скорость

, (1.2.9)

а значение коэффициент давления на цилиндре выражается формулой

. (1.2.10)