3. Простейшие потенциальные потоки.

   1. Поступательный поток

Для равномерного поступательного потока вдоль оси x со скоростью V₀ (рис. 9) можно записать проекции скоростей в виде

, , .

Найдем для этого потока потенциал скорости . Исходя из формул (2.3), можно записать, что

,

откуда , а после интегрирования получим

.

В выражении для  постоянная интегрирования, как правило, опускается, так как конечной целью является определение проекций скорости, а производная от постоянной величины равна нулю. С учетом этого потенциал скорости поступательного потока имеет вид

. (2.5)

2. Плоский источник (сток)

Под плоским источником понимается поток жидкости, равномерно вытекающий во все стороны из каждой точки бесконечно длинной прямой линии. Физической интерпретацией такого потока может служить истечение воды из длинной и тонкой дренированной трубы. При таком движении жидкости картина течения в каждой плоскости, перпендикулярной рассматриваемой линии, будет одинакова. Это течение является плоскопараллельным течением и может рассматриваться только в одной плоскости.

Найдем расход жидкости через круговую цилиндрическую поверхность, осью которой является источник, расположенный в начале координат (рис.10,а). Если цилиндрическая поверхность имеет радиус r, расход жидкости через ее отрезок единичной длины можно записать в виде

Через любую круговую цилиндрическую поверхность, осью которой является источник, протекает то же количество жидкости (по закону сохранения расхода жидкости, если жидкость в области вокруг источника не исчезает и не появляется из других источников).

Обозначим количество жидкости, вытекающей из источника единичной длины, которое называется интенсивностью источника, через Q:

, ,

тогда скорость потока на расстоянии r от источника равна

. (2.6)

Подставляя (2.6) в формулы (2.3), можно записать

.

Здесь частная производная заменена полной, так как скорость потока от источника зависит только от радиуса окружности. При этом можно записать последнее равенство в виде

,

что после интегрирования и отбрасывания постоянной C даст потенциал плоского источника

. (2.7,а)

Течение, обратное плоскому источнику, когда жидкость из окружающей среды равномерно подтекает к некоторой линии, называется плоским стоком (рис.10,б). При таком течении скорость имеет обратное направление

,

а потенциал скорости течения плоского стока имеет вид

. (2.7,б)

Несложно показать, что если источник (сток) расположен не в начале координат, а в произвольной точке (x₁, y₁, z₁), то формулы (2.7) и (2.8) примут вид

. (2.8)

3. Пространственный источник (сток)

Кроме плоских источника и стока в гидромеханике рассматриваются также пространственные источник и сток. Под таким течением подразумевается равномерное истечение жидкости во все стороны из точки – пространственный источник, или, соответственно, равномерное подтекание жидкости к точке – пространственный сток.

Найдем расход жидкости Q через сферическую поверхность радиуса r, центром которой является пространственный источник, расположенный в начале координат

,

при этом для данного пространственного источника расход жидкости характеризует его интенсивность и, по закону сохранения расхода, Q является одинаковым для сферической поверхности любого радиуса вокруг источника. Исходя из этого, можно выразить скорость течения жидкости от пространственного источника в любой точке пространства в виде

(2.9)

Пользуясь формулами (2.3), и проведя преобразования, аналогичные тем, что сделаны для плоского источника, можно получить потенциал пространственного источника

, (2.10,а)

а также и для пространственного стока

. (2.10,б)

Для пространственного источника (стока) в произвольной точке (x₁, y₁, z₁) потенциал примет вид

. (2.11)

Необходимо отметить, что из формул (2.6) и (2.9) следует, что при r0, то есть в самом источнике (стоке) скорость становится равной бесконечности. Точки, скорость в которых скорость теоретически становится равной бесконечности, называются особыми точками. В действительности физически скорость не может стать бесконечно большой. В связи с этим при сложении потенциальных потоков, в числе которых находится источник или сток, область, располагающаяся в непосредственной близости к источнику или стоку исключается из рассмотрения.