Глава II.

Безвихревые движения жидкости

1. Потенциал скорости. Уравнение Лапласа.

Безвихревым называется такое движение жидкости, при котором отсутствуют угловые скорости вращения частиц жидкости, т.е. . Несмотря на то, что из-за вязкости течение реальной жидкости практически всегда вихревое, изучение безвихревых течений представляет большой практический интерес. В ряде случаев вязкость реальных жидкостей проявляется в ограниченных областях, как правило, вблизи твердых стенок или тел, движущихся в жидкости. Остальная часть потока может быть рассмотрена с позиций безвихревого движения, что значительно облегчает его теоретическое исследование. Изучение волновых движений, расчет волнового сопротивления судна также базируется на теории безвихревого движения.

В соответствии с формулами для проекций угловой скорости вращения частиц [1], условие выполняется, если

, , . (2.1)

Последние зависимости обусловливают существование функции , называемой потенциалом скорости, который связан со скоростью следующим образом

, (2.2)

тогда проекции скорости на оси координат можно выразить в виде частных производных от потенциала по координатам:

, , . (2.3)

В общем случае проекция скорости на произвольное направление

.

Функция  тождественно удовлетворяет условиям (2.1), в чем нетрудно убедиться, подставляя в них значения скоростей, выраженные через потенциал :

, , .

Так как производная от функции не зависит от порядка дифференцирования, эти равенства являются тождествами и выполняются при безвихревом движении. Таким образом, если движение безвихревое, то существует потенциал скорости . Отсюда второе название безвихревого движения – потенциальное течение.

При существовании потенциала скорости решение задач гидромеханики значительно упрощается, так как вместо определения трех функций – V_x, V_y, и V_z – достаточно найти только одну - , которая целиком определяет кинематику безвихревого потока.

Основное уравнение, из которого можно определить потенциал скорости , получается из уравнения неразрывности в дифференциальной форме [1]

,

куда вместо проекций скорости следует подставить их выражения через потенциал скорости (2.3). В результате

(или ). (2.4)

Полученное уравнение в частных производных называется уравнением Лапласа. Из этого уравнения может быть найден потенциал скорости  при заданных начальных и граничных условиях [1].

2. Метод сложения потенциальных потоков.

Так как прямое определение функции  по уравнению Лапласа (2.4) сопряжено с большими математическими трудностями и может быть осуществлено только в ряде простейших случаев, в гидромеханике широко используется метод сложения потенциальных потоков. Правомочность такого метода основывается на следующих соображениях. Пусть ₁ и ₂ – потенциалы скорости известных потенциальных потоков (₁ и ₂ удовлетворяют уравнению Лапласа). Составим их сумму =₁+₂ и докажем, что суммарный потенциал  также является потенциалом скорости, т.е. в результате сложения двух потенциальных потоков получается также потенциальный поток. Для этого достаточно показать, что функция =₁+₂ удовлетворяет уравнению Лапласа. В самом деле:

в связи с тем, что каждая из сумм, стоящих в круглых скобках, равна нулю, так как каждый из потенциалов скорости ₁ и ₂ удовлетворяет уравнению Лапласа (2.4).

Аналогичным способом можно доказать, что результат, полученный для суммы двух потоков, справедлив также для любой линейной комбинации потенциальных потоков.

Большой класс практически важных потенциальных потоков может быть получен в результате сложения в различных комбинациях простейших потенциальных потоков, рассмотренных в следующем параграфе.