Сопротивление тела при неустановившемся движении. Понятие присоединенной массы.
Р
ассмотрим
простейший случай неустановившегося
движения тела – прямолинейное движение
тела вдоль оси x (рис.
18) с переменной во времени скоростью
.
Как и в случае движения с постоянной
скоростью, при движении тела с переменной
скоростью существуют вязкостное и
волновое сопротивления. При движении
тела с переменной скоростью расчет этих
составляющих производится, исходя из
позиций гипотезы стационарности. В
соответствии с этой гипотезой вязкостная
и волновая составляющие сопротивления
определяются как для тела, двигающегося
с постоянной скоростью, равной мгновенной
скорости тела в рассматриваемый момент
времени при неустановившемся движении.
Кроме этих составляющих сопротивления, при движении тела с переменной скоростью имеет место инерционная сила Rин. Эту составляющую можно получить из закона об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии системы за промежуток времени dt равно работе приложенных к системе сил, то есть
. (5.2)
Здесь dTж – изменение кинетической энергии жидкости, окружающей тело за время dt; R – изменяющаяся во времени сила, с которой тело действует на жидкость.
Согласно третьему закону Ньютона, со стороны жидкости на тело будет действовать сила Rин=-R, которая является искомой инерционной составляющей. Тогда на основании (5.2) можно записать
,
откуда
. (5.3)
Таким образом, для определения инерционной силы необходимо знать кинетическую энергию жидкости, окружающей тело.
Кинетическая энергия частицы жидкости объемом V (рис. 18), имеющей скорость v, равна
,
а всей жидкости
. (5.4)
Несмотря на то, что объем жидкости V может быть безграничным, интеграл в последнем выражении – величина конечная, так как любое тело конечных размеров, двигаясь в жидкости конечное время, может сообщить ей лишь конечную кинетическую энергию.
Разделим и умножим выражение
(5.4) на
,
тогда
. (5.5)
Интеграл в этой формуле имеет размерность массы и называется присоединенной массой :
.
Таким образом, вместо (5.5) можно записать
(5.6)
Из последнего выражения следует, что присоединенная масса – это такая фиктивная масса жидкости, которая при движении со скоростью тела обладает кинетической энергией, равной кинетической энергии жидкости, окружающей движущееся тело.
В приведенном определении масса названа фиктивной в том смысле, что она не является какой-либо массой конечных размеров, движущейся вместе с телом.
Величина присоединенной массы зависит от формы тела и направления движения тела в жидкости. С другой стороны, можно показать, что не зависит от времени, так как, несмотря на неустановившийся характер движения, скорость v в каждый момент времени пропорциональна vT и их отношение постоянно во времени.
Учитывая сказанное, после подстановки (5.6) в (5.3) получим
, (5.7)
где знак «минус» показывает, что инерционная сила направлена в сторону, противоположную ускорению; при ускоренном движении
Запишем уравнение движения тела с массой m под действием силы P (рис.19), которой может быть, например, упор гребного винта. В соответствии со вторым законом Ньютона
или с учетом (5.7)
,
откуда, перенеся инерционное слагаемое в левую часть, получим
.
Последнее выражение показывает, что влияние жидкости на движущееся в ней тело с ускорением приводит как бы к увеличению массы тела m на величину. В этом смысле и получила название присоединенной массы.
В настоящее время присоединенные массы определяются на базе теории невязкой жидкости.