4.4. Общие формулы для сил и моментов.

Вернемся к уравнению движения вязкой жидкости в виде (4.17).

В этом уравнении все производные – безразмерные величины. Из структуры данного уравнения следует, что все слагаемые представляют удельные (отнесенные к массе) силы (нестационарной природы, инерции, массовые, силы давления, силы вязкостной природы). Умножим это уравнение на массу жидкости в виде и выделим в размерных множителях критерии подобия, после чего получим уравнение, связывающее размерные силы различной природы:

(4.30)

Отношение сил одинаковой природы для натурного объекта R_н и для модели R_м получатся с учетом (4.18) в виде

.

Разделив уравнение (4.30) для натуры на такое же уравнение для модели, мы получим величину k_R: при выполнении условий динамического подобия

.

То есть безразмерные силовые характеристики, полученные в виде , для модели и натуры будут одинаковыми

. (4.31)

Безразмерные силовые характеристики в виде (4.31) называются безразмерными силовыми коэффициентами и обозначаются

. (4.32)

Аналогично вводятся безразмерные коэффициенты гидродинамических моментов, куда вводится характерное дополнительное плечо L

. (4.33)

Учитывая это, можно выражения для гидродинамической реакции и момента представить в виде

, (4.34)

Характерные величины v₀, S и L для каждого класса задач выбирают по-разному. Например, в случае движения судна обычно в качестве характерной длины выбирают длину по ватерлинии, а в качестве характерной скорости – скорость движения судна. За характерную площадь принимают смоченную поверхность, а иногда площадь миделевого сечения тела. При решении задач динамики тел в ряде случаев в качестве характерной площади целесообразно принимать , т.е. объемное водоизмещение тела в степени 2/3. Удачный выбор характерных величин способствует систематизации опытных материалов.

Итак, при выполнении условий полного динамического подобия для натурного объекта и геометрически подобной ему модели, коэффициенты гидродинамических сил равны, то есть

, (4.35)

откуда следует основной закон подобия: коэффициенты гидродинамических сил и моментов для модели и натуры равны, если соблюдается равенство всех критериев подобия.

При этом коэффициенты гидродинамической силы и момента являются функциями критериев подобия:

, (4.36)

На практике обычно оперируют не векторным коэффициентом гидродинамической силы , а его составляющими по осям координат в поточной системе координат. Ось x направлена при этом по вектору скорости набегающего потока , где , , – соответственно коэффициенты сопротивления, подъемной и боковой силы (силы дрейфа).

При этом .

Для составляющих гидродинамической реакции аналогично получим выражения

. (4.37)

4.5. Частичное подобие.

В общем случае движения вязкой несжимаемой жидкости с учетом сил поверхностного натяжения течение характеризуется четырьмя критериями подобия (числами , Fr, , Re); от этих критериев зависят также коэффициенты гидродинамических сил и моментов. В частных случаях движения отдельные критерии подобия выпадают из рассмотрения.

Начнем с числа Струхаля , характеризующего отношение нестационарных сил инерции к конвективным. Этот критерий подобия входит в уравнение (4.28). Если 0, т.е. период движения чрезвычайно велик, то нестационарные инерционные силы из рассмотрения выпадают. При колебательных движениях типа качки, в которых имеется характерный период T, возникает необходимость проверить, как выполняются условия моделирования по критерию подобия Струхаля. Имеем

,

откуда видно, что при k_L>>1 и k_v>1 T_мT_н (точнее T_м<T_н), т.е. соблюдение подобия по этому числу практически всегда выполняется.

Число Фруда характеризует отношение сил инерции к силам вязкости. Известно, что силы тяжести действуют всегда, но влияние на гидродинамические характеристики они оказывают не во всех случаях. Учет сил тяжести связан с явлением волнообразования на свободной поверхности. При движении тел в жидкости без волнообразования силы тяжести, а, следовательно, и числа Фруда не влияют на гидродинамические характеристики. Это имеет место при движении тела с любой скоростью глубоко под свободной поверхностью, а также при его движении по свободной поверхности с относительно малыми скоростями. Из опыта известно, что при движении судов с малыми числами Фруда волнообразование практически не оказывает влияния на гидродинамические силы. В этом случае коэффициент гидродинамической силы не зависит от числа Фруда. Таким образом, критерий подобия по Фруду следует учитывать лишь при движении тел с интенсивным волнообразованием. При равенстве чисел Фруда картина модельного и натурного волнообразования практически подобна.

Выясним техническую выполнимость моделирования по числу Фруда: согласно условию

.

Отсюда видно, что при подобии по числам Фруда скорость модели меньше, чем у натуры; это технически легко выполнимо. Заметим, что в судостроении число Фруда иногда служит для характеристики относительной быстроходности тела.

Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам вязкости. Если вязкость не учитывается (0), то число Рейнольдса формально стремится к бесконечности. При этом в уравнении движения выпадает член, зависящий от вязкости. Отсюда вытекает, что для невязкой жидкости коэффициент гидродинамической силы зависит только от чисел Sh, Fr, . Для моделирования по числу Рейнольдса требуется, чтобы согласно (4.22)

.

В случае одинаковых жидкостей, когда , .

Как видно, при k_L>1 требуемая скорость модели оказывается значительно больше натурной, что в большинстве случаев технически неосуществимо. Заметим, что если бы даже удалось достигнуть столь больших скоростей модели, то при движении в воде это коренным образом изменило бы структуру обтекания модели: вместо безотрывного обтекания имело бы место развитое кавитационное обтекание. Отсюда следует, что в одинаковых жидкостях подобие по числу Рейнольдса технически невыполнимо.

Число Эйлера характеризует отношение сил давления к силам инерции. Однако, для безотрывных движений жидкости (без кавитации) критерий подобия Эйлера не является определяющим. Иными словами, равенство чисел Эйлера выполняется, если соблюдено подобие по другим критериям.

При моделировании кавитационных течений обязательно соблюдение равенства чисел кавитации (4.26) , ( ), так как только в этом случае будет соблюдаться условие геометрического подобия кавитационных каверн и явления кавитации в целом.

Критерий подобия Вебера характеризует отношение сил поверхностного натяжения к силам инерции. Рассмотрим возможность моделирования по числу Вебера.

На основании (4.29) связь между коэффициентами поверхностного натяжения

,

откуда видно, что для равенства чисел Вебера требуется, чтобы коэффициент поверхностного натяжения модельной жидкости был во много раз меньше, чем натурной. Как правило, эти испытания производятся в одинаковых жидкостях (воде); отсюда следует, что подобие по числу Вебера технически практически невыполнимо. Таким образом, все модельные эксперименты по брызгообразованию и распаду струй, вообще говоря, не подобны натурным.

Во всех случаях, когда технически невозможно выполнить подобие по какому-либо критерию подобия, возникает опасность проявления так называемого масштабного эффекта, т.е. несоответствия в гидродинамических характеристиках модели и натурного объекта. Так, например, если числа Рейнольдса модели и натуры не равны, то при этом вязкостные силы на модели и натурном объекте не подобны.

Нередки случаи, когда изменение в весьма широких пределах какого-либо критерия подобия практически не влечет за собой изменение коэффициента гидродинамической силы или какой-либо ее составляющей. Это явление называется автомодельностью. При этом говорят, что имеет место автомодельность коэффициента гидродинамической силы по определенному критерию подобия (по числу Re, Fr и т.д.). При автомодельности, несмотря на различие величин критериев подобия, коэффициенты гидродинамических сил для модели и натуры одинаковы.