6. Диаграммы Фейнмана.

Диаграммы Фейнмана — наглядный и эффективный способ описания взаимодействия в квантовой теории поля (КТП).

Метод предложен Ричардом Фейнманом в 1949 для построения амплитуд рассеяния и взаимного превращения элементарных частиц в рамках теории возмущений, когда из полного (эффективного) Лагранжиана L системы полей выделяется невозмущённая часть (свободный лагранжиан) L₀, квадратичная по полям, а оставшаяся часть (лагранжиан взаимодействия) L₁ трактуется как возмущение. Наиболее наглядную интерпретацию диаграммы Фейнмана приобретают в методе интегралов по траекториям.

Составными элементами диаграммы Фейнмана являются вершины, внутренние и внешние линии. Каждая из линий подсоединяется к каким-нибудь вершинам: внутренняя к двум, а внешняя к одной. Набор вершин определяется структурой L₀, а набор внешних и внутренних линий — структурой L₁. Каждому моному по полям в L₁ соответствует определённый тип вершин, а каждому виду поля в L₀ определённый тип линий. Если поле нейтральное (соответствующая частица совпадает со своей античастицей), то линия считается ненаправленной, в противном случае линия направленная и на диаграмме снабжается стрелкой.

Диаграммы Фейнмана – наглядный и универсальный графический способ изображения взаимодействий частиц, дополненный алгоритмом расчёта вероятности этих взаимодействий. Метод диаграмм предложен Р. Фейнманом в 1949 г. и является наиболее широко используемым методом описания взаимодействий частиц в квантовой теории поля.

П ростейшая диаграмма Фейнмана для рассеяния электронов.

Диаграммы Фейнмана показывают, как произошло взаимодействие между частицами. На диаграммах частицы изображаются линиями, а точки (вершины), из которых выходят эти линии (или в которые приходят), показывают места локальных взаимодействий частиц. Рассмотрим простейшую диаграмму рассеяния двух электронов за счёт электромагнитного взаимодействия. Процесс развивается в пространстве и во времени. Ось времени t направлена слева направо. Координатная ось х, условно отражающая положение частиц в пространстве, направлена снизу вверх (эти оси на диаграммах обычно не показывают). Диаграмма “читается” следующим образом. До взаимодействия (t < t1) имелись два свободных сближающихся электрона е1 и е2. Им отвечают незамкнутые слева линии. Взаимодействие между ними произошло в период времени t1 – t2. В точке (вершине) 1, отвечающей моменту t1, электрон е1 испустил фотон (переносчик электромагнитного взаимодействия) и, испытав отдачу, изменил направление движения. Фотон, изображённый волнистой линией, распространяется в сторону электрона е2 и в точке (вершине) 2 в момент времени t2 поглощается им. Электрон е2, испытав отдачу, также изменяет направление движения. Далее электроны разлетаются, не испытав больше никаких взаимодействий. Каждому элементу диаграммы отвечает известная функция или множитель, которые по известным правилам объединяются в математическое выражение, дающее вероятность процесса. Линиям со свободными электронами, приходящим из t = -∞ и уходящим в t = +∞, отвечают реальные частицы. Внутренним линиям отвечают виртуальные частицы, распространяющиеся от точки рождения до точки поглощения (в данном случае это виртуальный фотон). Приведённая диаграмма показывает самый простой вариант электрон-электронного рассеяния. Для получения полной вероятности этого процесса необходимо учесть все возможные диаграммы, которые могут иметь очень разветвлённую структуру.

Пример одной из таких более сложных диаграмм рассеяния показан на рис. справа. В случае электромагнитного взаимодействия константа взаимодействия мала, поэтому диаграммы, содержащие большее число вершин, дают малые поправки по сравнению с вкладом основной диаграммы. Диаграмма, имеющая n вершин, при прочих равных условиях будет давать вклад в амплитуду процесса в 10ⁿ раз меньший, чем амплитуда элементарного процесса

Сечение процесса, содержащего n узлов, пропорционально квадрату амплитуды, т.е. ⁿ. Диаграммы Фейнмана используются также для наглядного описания процессов, обусловленных другими типами взаимодействий.

Существуют так называемые правила Фейнмана, которые сопоставляют каждому элементу диаграммы Фейнмана определенные математические объекты (величины и операции), так что по диаграмме Фейнмана можно однозначно построить аналитическое выражение, дающее вклад в амплитуду рассеяния квантованных полей. Вместе с тем диаграммы Фейнмана позволяют такому вкладу дать наглядную классическую интерпретацию в виде ряда последовательных локальных превращений частиц. Каждому отдельному превращению соответствует вершина, внутренним линиям — распространение промежуточной частицы от одного акта превращения до другого (пропагатор частицы), внешним линиям — волновые функции начальных и конечных частиц, участвующих в процессе.

В качестве примера рассмотрим диаграммы Фейнмана в квантовой электродинамике (КЭД), которая описывает взаимодействие электронов, позитронов и фотонов между собой. В КЭД имеются всего один тип вершин (рис. 1) и два типа линий (рис. 2). Ненаправленная волнистая линия относится к фотону, а направленная прямая — к электрону и позитрону.

В последнем случае распространению основной частицы (электрона) соответствует движение вдоль линии по направлению стрелки, а распространению античастицы (позитрона) — движение против стрелки.

Согласно правилам Фейнмана, в каждой вершине взаимопревращение частиц происходит с интенсивностью, пропорциональной некоторой константе связи (константе взаимодействия), и с соблюдением закона сохранения 4-импульса. Вместе с тем релятивистское соотношение между энергией и импульсом ( E— энергия, Р — обычный трёхмерный импульс, m — масса) выполняется только для начальных и конечных частиц, описываемых внешними линиями (реальные частицы). Это соотношение нарушается для промежуточных частиц, описываемых внутренними линиями, в связи с чем они называются виртуальными частицами. Для них E и Р могут независимо принимать значения от —∞ до +∞.

Диаграммы Фейнмана широко используются для анализа аналитических свойств амплитуд рассеяния, в частности для исследования их особенностей (сингулярностей). Иногда это позволяет из всей совокупности диаграмм, отвечающих данному процессу, выделить некоторую совокупность, которая вносит основной вклад.

Метод диаграммы Фейнмана успешно применяется также в квантовой теории многих частиц, в частности для описания конденсированных тел и ядерных реакций.

Лекция 11. Фундаментальные бозоны

Фундаментальные бозоны являются квантами калибровочных полей и осуществляют перенос взаимодействия между фундаментальными фермионами (кварками и лептонами).

Таблица 11.1

Фундаментальные взаимодействия и их калибровочные бозоны.

Взаимодействие	На какие частицы действует	Калибровочные бозоны	Спин	Масса, ГэВ
Сильное	Все цветные частицы	8 цветных глюонов	J=1	mq=0
Электро-магнитное	Все электрически заряженные частицы	Фотон	J=1	m=0
Слабое	Кварки, лептоны, калибровочные бозоны W, Z0	Массивные бозоны W, Z0	J=1	mW=80,4 ГэВ mZ=91,2 ГэВ
Гравитационное	Все частицы	Гравитон	J=2	mg=0

Источниками калибровочных бозонов являются заряды соответствующих фундаментальных взаимодействий.

Так, например, глюоны могут быть испущены (поглощены) любой частицей, наделённой сильным (цветовым) зарядом.

Фотон может быть испущен (поглощен) только электрически заряженной частицей.

Массивные бозоны W⁺, W^- и Z⁰ испускаются (поглощаются) частицами, наделёнными слабым зарядом.

Гравитон может быть испущен (поглощен) любой частицей; поскольку любая частица имеет гравитационный заряд. Для частицы с массой m он равен , где G –гравитационная постоянная Ньютона.