Кисляков Н.И. Теория вероятности Л13 стр. 38 09.03.25

Лекция 13

13.1. Теорема Бернулли (закон больших чисел).

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

.

Обозначим через дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через — во втором,-..., Х_п—в n-м испы­тании- Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероят­ностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью q=1-p.

Если случайные величины по­парно независимы и дисперсии их ограничены, то можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева Оба усло­вия выполняются. Действительно, попарная независимость величин следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины (i = 1,2, ...,n) равна произведению npq= pq (n=1); так как p+q=1, то произве­дение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С = 1/4.

** Известно, что произведение двух сомножителей, сумма которых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей. Здесь сумма , т. е. постоянна, поэтому при произведение имеет наибольшее значение

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рас­сматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Х_{ (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно ве­роятности р наступления события, получим

Остается показать, что дробь равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма равна числу явлений события в п испытаниях, а значит,

Учитывая это равенство, окончательно получим

Замечание. Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р, другими словами из теоремы Бернулли не вытекает равенство

.

В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании.

Таким образом, сходимость относительной частоты к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности». Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при к р как пределу в смысле обычного анализа, то начиная с некото­рого n = N и для всех последующих значений n неуклонно выпол­няется неравенство ; если же стремится по веро­ятности к р при , то для отдельных значений n неравенство может не выполняться.

Теорема Бернулли утверждает, что при относи­тельная частота стремится по вероятности к р и объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойстве» устойчивости и оправдывает статистическое определение вероятности.