19.6. Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалось раз, - раз, - раз и — объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, , числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки — относительными частотами.

Вариационным рядом называется последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке

Статистическим распределением выборки называют пе­речень вариант и соответствующих им частот или относи­тельных частот.

Статистическое распределение можно за­дать также в виде последовательности интервалов и соответ­ствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математи­ческой статистике - соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Пример. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

	2	6	12
	3	10	7	= 20
	0.15	0.50	0.35	1

19.7. Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение ча­стот количественного признака X. Введем обозначения: — число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x; n — общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события X равна . Если x изменяется, то, вообще говоря, меняется и относительная частота, т. е. относительная частота есть функция от x. Эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, поэтому ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , опреде­ляющую для каждого значения x относительную частоту события X < х.

где — число вариант, меньших x; n — объем выборки.

		Рис.19.1

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной сово­купности называют теоретической функцией распределе­ния. Различие между эмпирической и теоретической функ­циями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события X < x, а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относи­тельная частота события X < x, стремится по вероятности к вероятности этого события. Другими словами, при больших значениях n числа * и мало отли­чаются одно от другого в том смысле, что

Уже отсюда следует целесооб­разность использования эмпирической функции распреде­ления выборки для приближенного представления теоре­тической (интегральной) функции распределения гене­ральной совокупности.

Из опре­деления функции следует, что она обладает всеми свойствами . Пример функции распределения представлен на рис 19.1