Эргодическая теорема и ее применение в географии

Географические явления характеризуются различной скоростью своего развития. Так, для изменения погоды иногда оказывается достаточным всего полчаса. Для смены типа растительности требуются столетия, формирование рельефа измеряется сотнями тысячелетий. И поскольку медленные изменения не могут наб­людаться в непосредственном эксперименте, то появляется необходимость в построении научной концепции, с помощью которой, опираясь на объективные данные, можно было бы двигаться в намеченном направлении.

Уже А. Гумбольдт в сравнительно-географическом анализе пытался заме­нить временные наблюдения пространственными. Более строгие соот­ношения пространственных и временных переменных для статической физики сформулированы в 90-х годах XIX в. австрийским физиком

Л. Больцманом и известны под именем эргодической теоремы, или эрго­дической гипотезы. Эргодическая гипотеза получила строгое матема­тическое обоснование в работах американского математика Г. Биркгофа. В 1934 г. советским математиком А. Я. Хинчиным было сделано ее теоретико-вероятностное обобщение.

Сущность этой тео­ремы заключается в том, что она доказывает равенство средних вре­менных и пространственных изменений и позволяет заменять при до­казательствах временные закономерности пространственными (равенс­тво временных и фазовых средних). Для случайной функции Х₁(t) характерна следующая осо­бенность: каждая из ее реализации обладает одними и теми же характерными признаками - средним значением, вокруг которого происходят колебания, и средним размахом этих колебании.

Вы­берем произвольно одну из таких реализации и продолжим мыс­ленно опыт, в результате которого она получена, на некото­рым участке времени Т. Очевидно, при достаточно большом Т эта одна реализация сможет дать нам достаточно хорошее представление о свойствах случайной функции в целом. В част­ности, осредняя значения этой реализации вдоль оси абсцисс – по времени, мы должны получить приближенное значение математического ожидания случайной функции; осредняя квадраты отк­лонения от этого среднего, мы должны получить приближенное значение дисперсии и т. д.

Про такую случайную функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством. Эргодическое свойство состоит в том, что каждая отдельная реализация случайной функции является как бы «полномочным представителем» всей совокупности возможных реализаций; одна реализация достаточной про­должительности может заменить при обработке множество реали­зации той же общей продолжительности.

Если случайная функция Х(t) обладает эргодическим свойством, то для нее среднее по времени (на достаточно боль­шом участке наблюдения) приближенно равно среднему по множеству наблюдений.

Эргодическая гипотеза открывает широкие воз­можности для пространственно-временных сопоставлений и использо­вания их в качестве основания при прогнозах развития природы и реконструкции ее прошлого, если развитие природы можно рассматри­вать как стохастический стационарный процесс. Вероятностный про­цесс называют стационарным, если его вероятностные характеристики не зависит от времени, совместное распределение конкретных вели­чин f(t₁),f(t₂),...,f(t_i) зависят лишь от промежутка времени t_i – t₁. Для большинства географических явлений это может быть принято лишь при условии значительного осреднения величин.

Географическая система, развивающаяся в пространстве-времени, представляет собой сложное сочетание процессов и является, по су­ществу, комплексом эргодических систем.

Ю. Г. Симонов и Г. П. Калинин показали, что пространс­твенно-временные отношения некоторых географических явлений удов­летворяют сформулированным условиям эргодической теоремы. Благо­даря этому по пространственной структуре явления можно получить представление о его временной динамике и наоборот. Следует отме­тить, что в простейших вариантах такая замена уже давно (вероятно начиная с У. Девиса) осуществляется с помощью сравнительно-геогра­фического метода, когда сопоставляются аналогичные объекты, находя­щиеся в момент наблюдения на разных стадиях развития.

А. Д. Арманд ставит вопрос: в какой степени прост­ранственное разнообразие географических явлений может слу­жить основой для построения эмпирических математических моделей прогнозного и объяснительного назначения? И отве­чает на него: «Наблюдения природных процессов во времени дает более полноценный материал для моделирования геосистем. Однако, в случае недоступности таких наблюдений, изуче­ние мгновенного состояния многих одинаковых объектов, рассе­янных в пространстве, позволяет моделировать их структуру, вид внутрисистемных связей и развитие в условном времени. В соответствующих условиях возможно приведение модели к масштабу абсолютного времени» ¹.

В. А. Боков рассматривает простейший пример прояв­ления эргодичности географических явлений. Географические зоны на Русской равнине чередуются с севера на юг в опреде­ленной последовательности. Если представить, что наблюдает­ся перемещение зон на север, то каждая зона будет последо­вательно заменяться зонами, расположенными южнее и временная смена будет повторять пространственное расположе­ние.

Пример эргодической системы приводит Ю. Г. Симонов. Им показана схема последовательной смены ландшафтов по мере роста гипотетического материка в условиях тропического пояса. При малых размерах материка аридные ландшафты занимают небольшую пло­щадь, по мере увеличения материка площадь аридных ландшафтов рас­тет. Смена ландшафтов во времени в каждой точке соответствует пространственной последовательности. Таким образом, позиция объ­екта накладывает ограничения на ее эволюцию во времени.

Эргодическое значение имеет также введенное В. Б. Сочавой для обозначения различных динамических состояний гео­систем (по аналогии с сукцессионными рядами Ф. Клементса и географическими циклами У. Дэвиса) понятие серийных и факторально-динамических рядов фаций. Переменные состояния – серийные фации – недол­говечны, сменяя друг друга, они в своем развитии проходят через состояния полусерийных и мнимосерийных фаций к ко­ренной фации – аквифациальному состоянию.

Ю. Г. Симонов отмечает, что географы как правило оперируют с пространством, в котором оправдываются постулаты геометрии Евклида. В качестве географии используется модель заполненного пространства, предложенная Лейб­ницем¹. Согласно этой модели все окружающее нас прост­ранство заполнено определенным видом материи. Изменение явлений во времени в рамках географических исследований обычно описывает­ся в параметрах солнечного «астрономического» времени. Анализ из­менений географических явлений проводится с целью изучения и восстановления географии прошлого (составление палеогеографичес­ких реконструкций), а также для географических прогнозов.

Не смешивая конкретные различия законов, устанавливаемых фи­зикой и геолого-географическими науками, можно подчеркнуть единство вывода о взаимно обусловленной природе пространствен­но-временных изменений, его (вывода) общенаучный характер. Отме­ченное единство укрепляет уверенность в правильности решения дан­ной проблемы в ее географическом аспекте: изменения при­роды во времени неравномерны от места к месту, поскольку природа пространственно (от места к месту) разнородна. И развивающиеся объекты включаются в разных местах в совершенно отличную местную систему природных связей и отношений, определяющих скорость и направление его эволюции. В связи с этим необходимо помнить, что развитие при­роды со всеми ее компонентами протекало пространственно разнород­но.