30. Определение плотности распределения

Выше непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины   называют функцию   — первую производную от функции распределения  :

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

31.Математическое ожидание (вывод) и дисперсия непрерывной случайной величины.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины  , возможные значения которой принадлежат отрезку  , называют определенный интеграл . Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то (предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует). Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные непрерывной случайной величины   принадлежат отрезку  , то . Если возможные значения принадлежат всей числовой оси, то (предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства, существует). Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называют, как и для величины дискретной, квадратный корень из дисперсии: .

1. 32. Нормальное распределение, функция плотности, ее график.

2. Для иллюстрации геометрического смысла перечисленных свойств приведем пример графика плотности распределения вероятностей. Для большей наглядности на рис. представлен также график соответствующей функции распределения вероятностей.

3. 

33. Функция распределения вероятностей нормального распределения, ее график.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое задается плотностью  . Нормальное распределение задается двумя параметрами:   – математическим ожиданием,   – средним квадратическим отклонением. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормированным называют нормальное распределение с параметрами  . Плотность нормированного распределения задается формулой

34 Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Как уже было установлено, вероятность того, что непрерывная случайная величина   примет значение, принадлежащее интервалу  , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в соответствующих пределах: . Для нормально распределенной случайной величины соответственно получим: .

Вывод: вероятность того, что нормально распределенная случайная величина   примет значение, принадлежащее интервалу  , равна: , где   – математическое ожидание,   – среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.