22. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его вероятностный и механический смысл (вывод).

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Математическое ожидание M дискретной случайной величины - это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

23. Свойства математического ожидания (вывод).

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: . 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: . Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: . Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пусть производится   независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события   постоянна и равна  . Тогда справедлива следующая теорема. Теорема. Математическое ожидание числа появлений события   в   независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления этого события в каждом испытании: .

24.Математическое ожидание биномиального распределения (вывод).

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностейслучайной величины   принимающей целочисленные значения   с вероятностями:

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом  называемым числом испытаний, и вещественным числом     называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из   независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью   то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы   независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

25. Дисперсия дискретной случайной величины – определение и «рабочая» формула.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиныот ее математического ожидания:

Пусть случайная величина задана законом распределения

 

 

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

 

 

По определению дисперсии,

Таким образом, для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Замечание. Из определения следует, что дисперсия дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. Дисперсия непрерывной случайной величины также есть постоянная величина.

26. Свойства дисперсии дискретной случайной величины (вывод).

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равно нулю: . 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: . Следствие. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин. 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: .

Теорема. Дисперсия числа появлений события   в   независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность   появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность   появления и вероятность   непоявления этого события в одном испытании: .

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: . Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины.

27.Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X)

28. Дисперсия биномиального распределения.

Дисперсия = N*P*(1-P)

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p_i вычисляют поформуле Бернулли

Для биномиального распределения: математическое ожидание M(X) = np, дисперсия D(X) = npq, мода np-q ≤ Mo ≤ np+p, коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq, коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq

29 Функцией распределения называют функцию  , определяющую вероятность того, что случайная величина   в результате испытания примет значение, меньшее  , т.е.

Геометрически это равенство можно истолковать так:   есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки  .

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку  :

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2.   —неубывающая функция, т.е.

, если 

Доказательство. Пусть  . Событие, состоящее в том, что   примет значение, меньшее  , можно подразделить на следующие два несовместных события: 1)   примет значение, меньшее  , с вероятностью  ; 2)   примет значение, удовлетворяющее неравенству  , с вероятностью  .

По теореме сложения имеем

Отсюда

График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 2.

Рис. 8.1

 

Замечание. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.