1.3. Уравнение состояния рабочего тела

В молекулярно-кинетической теории газов доказывается, что давление газа численно равно 2/3 кинетической энергии поступательного движения молекул газа, заключенных в еди­нице объема, т. е.

Р = (2/3) пт W²\2; (1.1)

умножая обе эти части (1.1) на полный объем V, получаем PV = (2/3)NmW²/2, (1.2)

где N = nV — число молекул в объеме V; V — полный объем; m — масса молекулы; W² — средне-квадратичная скорость по­ступательного движения молекул.

Так как температура является функцией внутренней кине­тической энергии тела, определяющей скорость движения мо­лекул, то можно заметить, что

mW²/2 = КТ, (1.3)

где К — коэффициент пропорциональности.

Подставляя в выражение (1.2) значение равенства (1.3), получаем

PV=(2/3)NKT. (1.4)

Если рассмотреть уравнение (1.4) при условии: Т = const, Р = const, V = const, то получим математическое выражение известных газовых законов Бойля — Мариотта, Гей-Люссака, Шарля.

Из анализа этих законов следует, что для любых двух со­стояний газа справедливо равенство:

при Т = const P₁V₁= P₂V₂ ;

при Р =const V₁/T₁, = V₂/T₂ ;

при V = const Р₁/T₁ = P₂/T₂.

Из уравнения (1.4) следует, что для любых газов при оди­наковых физических условиях (Р, V, Т) число молекул одно и то же, т. е. N = const.

Это положение составляет содержание закона Авогадро, из которого следует, что при одинаковых физических усло­виях для любых газов произведение молекулярной массы га­за на его удельный объем есть величина постоянная, т. е.

µv= const , µ₁v₁ = µ₂v₂ = const.

Произведение µv представляет собой объем моля газа, ко­торый при нормальных физических условиях для всех газов равен 22,4 м³.

Если уравнение (1.4) написано для 1 кг, то, умножая ле­вые и правые части на µ обозначая 2/3NK =R , получаем уравнение Д. И. Менделеева для моля газа:

(1.5)

Уравнение (1.5) называется характеристическим. Если за- писать его для нормальных физических условий, то получаем 101325*22,4 = µR*273,15. (1.6)

Из этого равенства следует, что µR = 8314,3 Дж/(моль-К). Эта постоянная называется универсальной газовой постоян­ной, и для различных газов при нормальных физических усло­виях она будет иметь одно и то же значение.

Газовую постоянную любого газа определяют по выражению

(1.7)

Разделив левые и правые части уровнения (1.5) на µ полу­чаем уравнение состояния (или уравнение Клайперона) для 1 кг газа:

PV= RT. ( 1. 8)

Умножая левые и правые части уравнения (1.8) на произ­вольное количество газа М, получаем уравнение состояния для произвольного количества килограмм-массы:

PV = MRT. (1.9)

Уравнения (1.5), (1.8), (1.9) носят название характеристи­ческих уравнений равновесного состояния газа.

Объем газа V, находящийся при любых физических усло­виях (Р и Т), может быть приведен к нормальным физиче­ским условиям (Р_н и Т„) по выражению

Реальный газ отличается от идеального размерами моле­кул и наличием сил взаимодействия между ними.

Наиболее наглядно свойства реальных газов учитывает уравнение состояния Ван-дер-Ваальса:

(Р + a/b²)(v - b) = RT, (1. 11)

где а и Ь — постоянные коэффициенты для данного вещества.

Сопоставляя это уравнение с (1.8), отметим, что в уравне­ния Ван-дер-Ваальса входят два дополнительных числа а/Ь² и Ь. Физический смысл их становится ясен, если уравнение записать в виде

Р = RT/(v- b) - a/v². (1.12)

Член a/v² учитывает силу взаимодействия между молеку­лами, которая уменьшает действие внешнего давления газа и пропорциональна квадрату числа молекул, а следовательно, квадрату плотности газа д², или обратно пропорциональна V². Член b учитывает собственный объем молекул. Чем боль­ше Ь, тем меньше расстояние между молекулами и больше число соударений молекул, а следовательно, и величина внешнего давления.

Для практических расчетов уравнением (1.11) не пользу­ются, так как результаты, полученные при расчете, плохо сог­ласуются с опытом.

Наиболее точным уравнением состояния реальных газов является уравнение, выведенное нашими соотечественниками М. П. Вукаловичем и И. И. Новиковым, которое учитывает не только силы взаимодействия между молекулами и объем молекул, но также наличие в реальных газах явления ассо­циации молекул. Ассоциация рассматривается как механиче­ское соединение под действием межмолекулярных сил оди­ночных молекул в более сложные молекулы — двойные, трой­ные и т. д. Сопоставление результатов расчетов с опытны­ми данными показывает точность этого уравнения.

Задачи на расчет параметров состояния

1. Масса 1 м³ углекислого газа (С0₂) при определенных условиях составляет 0,8 кг. Определить плотность (ģ) и удельный объем (С0₂) при этих условиях.

Ответ: ģ=0,8 кг/м³; v= 1,25 м³/к'г.

2. Плотность воздуха при определенных условиях равна 1,293 кг/м³, Определить удельный объем (v) воздуха при этих условиях.

Ответ: v = 0,773 м³/кг.

3. Найти абсолютное давление пара в котле, если мано- метр показывает Р = 0,13 МПа, а атмосферное давление по ртутному барометру составляет B = 680 мм рт. ст. (90660 Па) при t=25°С.

Решение

Р_а= Р_м + В.

Показание барометра получено при температуре ртути t= 25°С. Это показание необходимо привести к 0°С. Приведе­ние показаний ртутного барометра к 0°С легко получить из следующего соотношения:

Во = B(1 - 0,000172 t)

, где Во — барометрическое давление, приведенное к 0°С; В — действительное давление при температуре воздуха 25°С; 0,000172 — коэффициент объемного расширения ртути.

Во = B(1 - 0,000172 t)= 90660 (1 -0,000172*25) = 90270 Па.

Тогда абсолютное давление пара в котле

Р_a= Р_и + В₀ = 0,13 + 0,090 = 0,22 МПа.

4. Какой объем занимает 1 кг азота (N₂) при температу- ре t = 70°С и давлении Р = 0,2 МПа?

Решение

Из характеристического уравнения для 1 кг газа имеем

5. Какой объем будут занимать 11 кг воздуха при давле- нии Р = 0,44 МПа и температуре t = 18°С?

Ответ: v = 2,088 м³/кг.

6. Какова будет плотность окиси углерода (СО) при t= 20°С и Р = 94,7 кПа, если при t= 0°С и Р = 101,3 кПа она равна 1,251 кг/м³.

Решение

Из выражения для двух различных состояний имеем

7. Сосуд вместимостью V = 10 м³ заполнен 25 кг (С0₂). Определить абсолютное давление в сосуде, если температура в нем t= 27 С.

\

Ответ: Р= 141,7 кПа.

1.4. Теплоемкость газов

Теплоемкостью газа называется количество теплоты, не­обходимое для повышения его температуры на 1 К. Теплота нагревания, затрачиваемая на 1 К единицы количества газа,' называется удельной теплоемкостью. Различают следующие удельные теплоемкости: массовую С (на 1 кг), объемную С (на один нормальный кубический метр) и мольную µС (на 1 моль).

Соотношение между удельными теплоемкостями следую­щее:

(1.13)

где µ— молекулярная масса газа.

Принято удельную теплоемкость называть просто теплоем­костью.

Теплоемкость газа зависит от его природы (атомности), температуры и характера процесса. Теплоемкость газов с по­вышением температуры увеличивается.

Если газ нагревают от t₁ °С до t₂ °С и для нагревания 1 кг затрачивают q кДж теплоты, то средняя теплоемкость газа в рассматриваемом интервале температур

(1.14)

Если известны средние теплоемкости в интервале О…t ₁ и 0...t_{2 ,} то средняя теплоемкость в интервале температур t₁.,.t₂

Произведения соответственно представляют собой количества теплоты, необходимой для нагревания газа от 0°С до t₁ и t₂. Разность этих количеств теплоты есть теплота нагревания газа от t₁ до t₂. При делении этого количества те­плоты на разность температур t₂ — t₁ получаем среднюю тепло­емкость газа в рассматриваемом интервале температур.

Следует учитывать, что "теплоемкость газа в интервале

температур t₁...t₂ при (t₁>0) будет больше

Теплоем­кость, соответствующая определенной температуре, называет­ся инстинной теплоемкостью. Истинная теплоемкость равна пределу, к которому стремится средняя теплоемкость при бес­конечном уменьшении интервала температур t₁...t₂. Теплоем­кость зависит от характера процесса. Особое значение имеют теплоемкости изобарная с_р (при постоянном давлении) и изохорная c_v (при постоянном объеме). Величина с_р больше c_v, так как при нагревании газа в изохорном процессе теплота за­трачивается только на повышение температуры. При изобар­ном нагревании газ расширяется и совершает работу. Тепло­та нагревания c_р (1 кг газа) в изобарном процессе больше теплоты Сv на величину работы расширения, которая равна газовой постоянной R. Теплоемкости с_р и с_v связаны форму­лой Майера:

c_p−c_v = R. (1.16)

Для мольных теплоемкостей формула Майера

(1.17)

Отношение теплоемкостей с_р и с _v для всех газов больше единицы:

(1.18)

где К — показатель адиабаты.

При изменении температуры показатель К изменяется

(1.19)

так как R- величина постоянная, а с_v с повышением температуры увеличивается, то К уменьшается. Это необходимо учитывать, если расчет ведется с учетом зависимости теплоемкости от температуры.

Решая совместно равенства (1.16) и (1.18) относительно c_v и с_р, получаем:

c_v = R/(K− 1), с_р= КR/(К−1). (1.20)

Соответственно мольные теплоемкости

(1.21)

Следовательно, мольные теплоемкости одинаковой атомности равны.

Если не учитывать зависимость теплоемкости от темпера­туры (постоянная теплоемкость), то для ориентировочного определения теплоемкости газов можно пользоваться следующими значениями (в КДж/(моль-К):

Газы µС_v µC_p

Одноатомные 12,48 20,80

Двухатомные 20,80 29,10

Трех- и многоатомные 29,10 37,40

Теплоемкость реальных газов зависит от давления и тем­пературы. Зависимостью теплоемкости от давления при мно­гих расчетах пренебрегают.

Зависимость теплоемкости от температуры на основании экспериментальных данных выражают уравнением

C=a + bt + dt², (1.22)

в котором a, b и d — числовые коэффициенты, зависящие от природы газа и характера процесса.

Для двухатомных газов зависимость теплоемкости от тем­пературы выражают уравнением:

С = а + bt, (1.23)

Если зависимость истинной теплоемкости от температуры выражается уравнением (1.22), то среднюю теплоемкость газа находим из уравнения:

откуда

или

(1.24)

для двухатомных газов

(1.25)

По средней теплоемкости можно определить теплоту, сообщаемую газу как при его нагревании от нуля до температуры t, так и при нагревании от t ₁ до t_2.

В первом случае имеем

(1.26)

и во втором

Эта формула удобна для расчетов, так как значения сред­них теплоемкостей газа берут

из таблиц по заданным температурам t₁ и t₂.

Теплоту, сообщаемую газу в произвольном процессе, мож­но определить по формуле

(1.27)

И по формулам

(1.28)