4.2. Метод Рунге-Кутта.
Рис. 14. Вычисления по методу Рунге-Кутта.
Рис. 15. Решение по методу Рунге-Кутта.
Рис. 16. График зависимости x(t).
Колебания, протекающие по закону косинуса:
, где – начальная амплитуда (она же является максимальной), - коэффициент затухания, - начальная фаза колебаний, – циклическая частота колебаний (число колебаний за секунд), - механическая частота колебаний (число колебаний в единицу времени – в секунду), - период колебаний (время, за которое совершено одно полное колебание (на графике – расстояние между двумя соседними максимумами функции). По графику можно вычислить:
м,
с,
Гц,
Гц.
По рис. 16 получен новый график, который похож по своему характеру на рис. 9. Это показывает, что метод Эйлера и метод Рунге-Кутта дают похожие решения.
Рис. 17. Уменьшение шага метода Рунге-Кутта.
Рис. 18. Решение по методу Рунге-Кутта с уменьшенным в 2 раза шагом.
Рис. 19. График зависимости x(t) с уменьшенным вдвое шагом.
Колебания, протекающие по закону косинуса:
, где – начальная амплитуда (она же является максимальной), - коэффициент затухания, - начальная фаза колебаний, – циклическая частота колебаний (число колебаний за секунд), - механическая частота колебаний (число колебаний в единицу времени – в секунду), - период колебаний (время, за которое совершено одно полное колебание (на графике – расстояние между двумя соседними максимумами функции). По графику можно вычислить:
м,
с,
Гц,
Гц.
График с рис. 19 такой же, как и график с рис. 16. Понятно, что при изменении шага метода Рунге-Кутта характер графика измениться не должен, что мы и наблюдаем.
Рис. 20. Погрешность метода Рунге-Кутта.
5. Вывод.
Таблица 2. Сравнение погрешностей методов.
Название метода |
Максимальная погрешность |
Метод Эйлера |
|
Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка |
|
Идеальное значение погрешности |
|
Таблица 3. Сравнение относительных погрешностей методов по элементам.
Методы |
Элемент при обычном шаге 0,01 |
Элемент при вдвое меньшем шаге 0,005 |
Относительная погрешность |
Метод Эйлер |
|
|
|
Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка |
|
|
|
В данной работе выяснилось, что менее рационально использовать для решения метод Эйлера, дающий наибольшую погрешность. Это связано с тем, что ошибка метода Эйлера прямо пропорциональна шагу интегрирования h. Наиболее рационально использование метода Рунге-Кутта, дающее наименьшую ошибку. Такая точность достигается благодаря тому, что ошибка этого метода пропорциональна h5.