2.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка:

y/ = f (x,y)

с начальным условием x=x₀, y=y₀.

В окрестности точки x₀ функцию y(x) разложим в ряд Тейлора:

который можно применить для приближенного определения искомой функции y(x). Для уменьшения погрешности метода интегрирования дифференциального уравнения необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей дифференциального уравнения. Основная идея методов Рунге-Кутта заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f(x,y) в точках на интервале [x₀, x₀+h], которые выбираются из

условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутта разных порядков точности.

Так, например, общая форма записи метода Рунге - Кутта второго порядка следующая:

где

Решение ОДУ, полученное по этой схеме имеет погрешность 0(h²).

Для параметра a наиболее часто используют значения

a=0,5 и a=1.

Рассмотрим первый вариант метода Рунге - Кутта второго порядка.

При a=0,5 формула примет вид:

.

Эту формулу можно представить в виде следующей схемы:

где

Это метод Рунге - Кутта второго порядка (1-ый вариант) или исправленный метод Эйлера.

Геометрически процесс нахождения точки x₁,y₁ можно проследить по рис. 3. По методу Эйлера находится точка x₀+h,y₀+h^.y^/₀, лежащая на прямой L1. В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной (прямая L2). Усреднение двух тангенсов дает прямую  . Проводим через точку x₀,y₀ прямую L, параллельную  .

Точка, в которой прямая L пересечется с ординатой x=x₁=x₀+h, и будет искомой точкой x₁,y₁.

Тангенс угла наклона прямой   и L равен:

Уравнение прямой L запишется в виде:

тогда в точке x=x₁=x₀+h получим решение:

  Рис. 3. Геометрическая интерпретация метода Рунге-Кутта второго порядка при a=0.5.

Данная формула описывает метод Рунге - Кутта второго порядка при a=0.5.

В случае второго варианта метода Рунге - Кутта второго порядка принимают

a=1.

Тогда:

Представим эту формулу в виде схемы:

Это метод Рунге - Кутта второго порядка (2-ой вариант) или модифицированный метод Эйлера.

Рис. 4. Геометрическая интерпретация метода Рунге-Кутта второго порядка при a=1.0.

Через точку x₀,y₀ проводим касательную (прямая L1) с тангенсом угла наклона равным

y/0 = f (x0,y0)

По методу Эйлера в точке x=x₀+h/2 находится приближенное решение ОДУ

.

В точке Р определяется тангенс угла наклона касательной (прямая L*) интегральной кривой:

Проводим через точку x₀,y₀ прямую, параллельную L* (прямая L₀). Пересечение этой прямой с ординатой x=x₀+h и дает искомую точку x₁,y₁. Уравнение прямой L₀ можно записать в виде

.

Тогда в точке x= x₀+h получим решение:

Эта формула описывает метод Рунге - Кутта второго порядка при a=1.

Методы Рунге - Кутта третьего и четвертого порядков можно вывести аналогично тому, как это делалось при выводе метода второго порядков.

Не будем воспроизводить эти выкладки, а приведем формулы, описывающие метод четвертого порядка, один из самых применимых методов интегрирования ОДУ. Этот метод применяется настолько широко, что в литературе просто называется ”методом Рунге - Кутта” без указаний на тип и порядок. Этот классический метод Рунге - Кутта описывается системой следующих соотношений:

или
где

Геометрическая интерпретация метода представлена на рис. 5.

Рис. 5. Геометрическая интерпретация метода Рунге-Кутта четвертого порядка.

Порядок построения:

С шагом h/2 из точки М₀(x_i,y_i) под углом y₁=tg (k₁/h) проводим прямую в точку M₁(x_i+h/2,y_i+h/2).

В точке М₁ вычисляем направление tg(y₂)=k₂/h и, делая шаг в этом направлении, из точки М₀ попадаем в точку М₂(x_i+h/2,y_i+h/2).

В точке М2 вычисляем tg(y₃)=k₃/h и, делая шаг в этом направлении, из точки М₀ попадаем в точку М₃(x_i+h/2,y_i+k₃).

В точке М3 вычисляем tg(y₃)=k₃/h.

Полученные величины k₁,k₂,k₃,k₄ усредняются по формуле:

Используя величину  y_i делаем окончательный шаг из (x_i,y_i) в (x_i+1,y_i+1).