Министерство образования и науки РФ.

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования.

Тульский государственный университет.

Кафедра «Строительство, строительные материалы и

конструкции».

Курсовая работа

по дисциплине «Численные методы» на тему:

«Численные методы решений задач строительства автодорог».

Вариант № 2-2.

Выполнил ст. гр. 331701 Митяев М.Р.

Проверил   Леонов В.М.

Тула 2012

Содержание.

1. Введение………………………………………………………….…3

2. Теоретические сведения…………………………………………....3

2.1. Метод Эйлера…………………………………………….….3

2.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка…………….…….5

3. Задание……………………………………………………….……...11

4. Решение задания в MathCAD………………………………….…..12

4.1. Метод Эйлера………………………………………….….…13

4.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка…………….….…18

5. Вывод……………………………………………………………..…23

6. Список литературы………………………………………………...24

1. Введение.

Цель работы: овладеть численными методами решения задач строительства автодорог.

Для достижения цели необходимо решить ряд промежуточных задач:

1. Изучить теорию и практические аспекты применения метода Эйлера.

2. Изучить теорию и практические аспекты применения метода Рунге-Кутта четвертого порядка.

3. Решить исходную задачу каждым методом.

4. Провести сравнительный анализ методов.

5. Выбрать наиболее точное решение.

6. Сделать вывод о проделанной работе.

2. Теоретические сведения.

2.1. Метод Эйлера.

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка

y/ = f (x,y),

с начальным условием

y(x0)=y0,

т.е. необходимо решить задачу Коши.

В окрестности точки x₀ функцию y(x) разложим в ряд Тейлора

,

который можно применить для приближенного определения искомой функции y(x). В точке x₀+h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда (8.7), тогда,

где O(h²) - бесконечно малая величина порядка h². Заменим производную y^/(x₀), входящую в формулу (8.7), на правую часть уравнения (8.5)

Теперь приближенное решение в точке x₁=x₀+h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (8.9) найти значение искомой функции в следующей точке x₂=x₁+h. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера или методом ломаных.

Метод Эйлера можно представить в виде последовательного применения формул:

для точки x1 = x0 +h,   y1=y0+h.y0/=y0+h. f (x0,y0)
x2 = x1 + h,    y2=y1+h.y1/=y1+h. f (x1,y1)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i+1= xi + h,   yi=yi+h.yi/=yi+h. f (xi,yi)

Таким образом, формула Эйлера в общем случае имеет вид:

yi+1=yi+h. f (xi,yi),  xi+1 = xi + h.

Название “метод ломаных” связано с его геометрической интерпретацией (рис.8.1): искомая функция y(x) заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах x₀, x₁, ... Выведем формулы на основе геометрических аналогий.

Рис. 1. Искомая интегральная кривая.

Предположим, что нам известна точка (x₀,y₀) на искомой интегральной кривой (рис.1). Через точку (x₀,y₀) проведем касательную с тангенсом угла наклона

Уравнение касательной имеет вид:

y=y0+y0/(x-x0).

Тогда в точке x₁=x₀+h, с учетом (8.13) получим решение:

y=y0+y0/(x0+h-x0);
y1=y0+h . f (x0,y0)

Ошибка решения в точке x=x₁ показана в виде отрезка  .

Формула (8.12) является методом Рунге - Кутта первого порядка, т.к. она согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h¹.

Метод Эйлера имеет довольно большую погрешность вычисления:  0(h). Кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая ошибка (например, заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом x. Рис. 2. Графическая интерпретация метода Эйлера.