Розділ 2 квантовий опис мікрочастинок

2.1 Приклади рішення задач

Тема 2.1.1 Хвильові властивості мікрочастинок

1. Кінетична енергія електрона в атомі водню складає приблизно 10 еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей оцінити мінімальні розміри атома.

Д ано: Рішення

Е = 10 еВ = 1,6∙10^-18Дж Співвідношення невизначеностей для координати і

m = 9,11∙10^-31 кг імпульсу має вигляд:

l = ? (1)

Якщо атом має лінійний розмір l, то електрон буде знаходитись в межах атома з невизначеністю .

Розумна невизначеність імпульсу ∆p_х не повинна перевищувати самого імпульсу, тобто ∆p_х = p_х. Тоді, враховуючи, що енергія електрона дорівнює

,

знайдемо його імпульс

(2)

Враховуючи формулу (2) в (1) і переходячи в (1) до рівності, отримаємо:

,

Остаточно:

м

2. Частинка у потенціальному ящику шириною l знаходиться у другому збудженому стані. Визначити, в яких точках інтервалу 0 < x < l густина ймовірності знаходження частинки максимальна і мінімальна.

Д ано: Рішення

l

n = 2

0 < х < l

x₁ - ? x₂ - ?

Рівняння для хвильової функції електрона в одномірній потенціальній ямі має вигляд:

Тоді густина ймовірності

Звідси видно, що при і

,

а при

Тобто ймовірність максимальна при ; і мінімальна при .

3 . Частинка знаходиться у потенціальній ямі. Знайти відношення різниці енергій сусідніх енергетичних рівнів n+1 та n до енергії частинки в трьох випадках: n = 3, n = 10, n → . Пояснити отримані результати.

Д ано: Рішення

n₁ = 3

n₂ = 10

n₃ →

- ?

Енергія частинки в потенціальній ямі визначається за формулою:

Тоді

Звідси для n₁ = 3, маємо:

,

для n₂ = 10:

,

для n₃ → :

Таким чином при малих значеннях n чітко проявляється дискретність енергетичного спектру частинки. Дискретність зменшується при зростанні n і спектр переходе в квазінеперервний при великих n, або в неперервний для вільної частинки (n₃ → ).

4 . Знайти найменше значення енергії електрона у потенціальному ящику, який обмежено розмірами 10^-8см.

Д ано: Рішення

m = 9,11·10^-31кг

l = 10^-8см = 10^-10м

n₁ = n₂ = n₃ = 1

Е₀ - ?

Енергія частинки у тривимірному потенціальному ящику визначається за формулою:

Найменше значення енергії електрона буде в основному стані, тобто при найменших значеннях головних квантових чисел n₁ = n₂ = n₃ = 1:

Дж 110еВ

Тема 2.1.2 Статистичні розподіли

1. Знайти енергію Фермі (в еВ) для електронів провідності літію, якщо густина літію дорівнює 0,534 г/см³, а атомна маса 6,94.

Д ано: Рішення

ρ = 0,534 г/см³ =534 кг/м³

M = 6,94∙10^-3 кг/моль

E_F- ?

Енергія Фермі дорівнює:

Літій є одновалентним металом, тому концентрація вільних електронів дорівнює концентрації атомів:

,

де - об’єм одного моля.

Тоді

еВ.

2. Концентрація вільних електронів у натрію 2,5∙10²⁸ м^-3. Визначити температуру Фермі і швидкість електронів на рівні Фермі.

Д ано: Рішення

n = 2,5·10²⁸ м^-3 Температура Фермі визначається формулою:

T_F - ? υ_F - ? ,

а енергію Фермі при Т = 0 К можна знайти таким чином:

Тоді

К

Враховуючи, що це максимальна кінетична енергія електронів при Т = 0 К, то швидкість електронів на рівні Фермі буде дорівнювати:

3. Які відповідно ймовірності того що при кімнатній температурі електрон займе стани, що лежать на 0,1 еВ вище та на 0,1 еВ нижче рівня Фермі?

Д ано: Рішення

Т = 300 К

Е₁ – Е_F = 0,1 еВ

Е₂ – Е_F = - 0,1 еВ

f₁ - ? f₂ - ?

Відомо, що для кімнатної температури

еВ

Ймовірність того, що при температурі Т стан, що відповідає енергії Е_і, буде зайнято електроном, визначається функцією Фермі-Дірака:

Тоді, якщо E_i – E_F = ±0,1 еВ, то при Т = 300 К

Таким чином:

;

4 . Знайти різницю енергій (в одиницях kТ) між електроном, який знаходиться на рівні Фермі, та електронами, що знаходяться на рівнях, ймовірність заповнення яких дорівнює 0,20 та 0,80.

Д ано: Рішення

ΔЕ₁-? ΔЕ₂-?

Різниця енергій електрона в обох випадках буде дорівнювати:

З формули розподілу Фермі-Дірака знайдемо різницю енергій :

;

Перетворимо цей вираз:

, звідси .

Логарифмуємо:

, тоді

Таким чином:

5. Метал знаходиться при температурі 0 К. Визначити у скільки разів кількість електронів з кінетичною енергією від E_F/2 до E_F більше кількості електронів з енергією від 0 до E_F/2.

Д ано: Рішення

Т = 0 К

Е₁ = E_F

Е₂ = E_F/2

Е₃ = 0

Концентрацію електронів знайдемо з формули для енергії Фермі при

Т = 0 К:

,

звідки

Концентрація електронів, які знаходяться в інтервалі енергій dE буде дорівнювати:

Тоді концентрація електронів, енергія яких лежить в інтервалі енергій від E_F/2 до E_F буде:

Аналогічно для інтервалу енергій від 0 до E_F/2:

Тоді

2.2 Задачі для самостійного розв’язання

1. Положення бусинки масою 1 г і положення електрона визначені з однаковою похибкою, що дорівнює 1∙10^-7м. Оцінити квантово-механічну невизначеність х – компоненти швидкості бусинки і електрона. (∆υ₁= 5∙10^-25 м/с, ∆υ₂ = 5∙10² м/с)

2. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальну кінетичну енергію електрона, який локалізовано в області простору з лінійними розмірами порядку 10^-10м (атом), 10^-15м (атомне ядро). Обговорити отримані результати. (E_min1 ≈ 3,8 eB, E_min2 ≈ 3,8∙10¹⁰ eB)

3. Докажіть, що енергія вільних електронів в металі не квантується. Прийміть, що розмір кристала дорівнює 10см. ( Дж)

4. Частинка знаходиться в нескінченно глибокій одномірній потенціальній ямі. Визначити, у скільки разів зміниться відносна різниця енергій сусідніх енергетичних рівнів частинки при переході від n₁ = 2 до n₂ = 8. Поясніть фізичну сутність отриманого результату. ( , )

5. Знайти ймовірність того, що електрон в металі буде мати енергію, яка дорівнює енергії Фермі при Т ≠ 0 К. (f = 0,5)

6. Експериментальне значення межі Фермі для літія ⁷Li при Т = 0 К дорівнює 3,5 еВ. Яке значення ефективної маси електрона необхідно підставити в формулу, щоб отримати згоду між теоретичним і експериментальним значенням енергії Фермі? Густина літію 534 кг/м³. (m =11,5∙10^-31кг )

7. Оцінити температуру виродження для калію ³⁹К, якщо прийняти, що на кожний атом припадає по одному вільному електрону. Густина калію 360 кг/м³. (Т₀ = 2,35∙10⁴ К)

8. При якій концентрації вільних електронів в кристалі температура виродження електронного газу в ньому дорівнює 0⁰С? (n = 1,7·10²⁵м^-3)

9. Визначити кількість вільних електронів, які припадають на один атом натрію ²³Na при Т = 0 К. Енергія Фермі у натрію дорівнює 3,12 еВ, густина 970 кг/м³. (n = 1)

10. Металевий кристал об’ємом 20 см³ знаходиться при Т = 0 К. Визначити кількість вільних електронів, імпульси яких відрізняються від максимального не більше ніж на 10 %. Енергія Фермі дорівнює 5 еВ. (∆N = 2,8∙10²³)

11. У скільки разів кількість вільних електронів, які припадають на один атом метала при Т = 0 К, більше в алюмінії ²⁷Al, ніж у міді ⁶⁴Cu, якщо рівні Фермі відповідно дорівнюють 11,7 еВ і 7,0 еВ? Врахувати, що густина алюмінію 2,7∙10³ кг/м³, а міді 8,9∙10³ кг/м³. (N₁/N₂ = 3.0)

12. Визначити відношення концентрації електронів в металі при 0К, енергія яких відрізняється від максимальної не більше ніж на 0,01Е_F, до концентрації електронів, енергія яких не перевищує значення 0,01 Е_F. (n₁ / n₂ = 15)