2. Достаточность

Пусть последовательность фундаментальная, докажем, что она сходится

По теореме 12, Хn – ограничена, следовательно из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность , докажем, что Хn (сходится)

Зададим произвольное

Так как , получим

Последовательность , следовательно

(*)

Чтобы выполнялось 2 неравенства одновременно, обозначим

Последовательность сходится

§2.4 Числовые ряды

Пусть { Хn }={ Х1,Х2,Х3 … Хn…}

Определение 12.

Выражение вида (формально составленной суммы)

Х1+Х2+Х3+ … +Хn+…= (2)

Называется числовым рядом

Sn= Х1+Х2+Х3+ … +Хn= - частичная сумма ряда

S1= Х1

S2= Х1+Х

S3= Х1+Х2+Х3

……..

Частичные суммы сами по себе образуют числовую последовательность, которая называется последовательностью частичных сумм

Определение 13.

Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм

- сумма ряда

Предел последовательности частичных сумм называется сумма ряда, записывают

Если последовательность расходится, то её предел не существует, то говорят, что и ряд расходится

Таким образом можно записать

– числовой ряд, который называется остатком исходного числового ряда

Если ряд сходится

Замечание.

По определению сходимость ряда (2) равносильна последовательности частичных сумм и наоборот

Пусть - некоторая числовая последовательность и составим ряд

Для которого частичной суммой будут члены числовой последовательности и сходимость этой числовой последовательности равна сходимости числового ряда

Пример 9

А) исследовать сходимость

не существует, этот ряд расходится

Определение 14.

Суммы, разности и произведением двух рядов и произведение ряда на число, называются следующие ряды

Теорема 14.

Если ряды и сходятся, то сходятся их сумма, разность и произведение на число

Доказательство:

Обозначим частичные суммы

И рассмотрим ряд

Аналогично теорема доказывается для разности и произведения

Замечание.

Отбрасывание или добавление конечного числа слагаемых членов ряда не влияет на характер сходимости или расходимости, так как при этом изменится на конечное число частичной суммы. При этом изменится только частичная сумма

Теорема 15. Критерии Каши

Для того, чтобы числовой ряд (2) Х1+Х2+Х3+ … +Хn+…= сходился, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

- ясно, что последовательность неравенства равносильно

Доказательство:

По определению сходимости ряда равносильно сходится последовательность , а сходящаяся последовательность равносильна фундаментальной последовательности

Значит, выполняется (3) и наоборот, если выполняется (3), то последовательность частичных сумм сходится

Следствие. (Необходимый признак сходимости)

Если ряд ( +…= 2) сходится, то предел его общего члена равен нулю

обратное утверждение неверно

Доказательство:

Воспользуемся критерием Коши, предположив, что ряд сходится, положив в нем p=1

Если предел общего члена равен нулю

гармонический ряд

Однако ряд расходится, докажем, воспользовавшись критерием Коши

Критерий Коши не выполняется, следовательно ряд расходится