§2.2 Свойства сходящихся последовательностей

Пусть Хn, Уn– числовые последовательности

Определение 6.

Суммой, разностью произведения и частных двух последовательностей Хn, Уnназывается:

Х

Теорема 4.

Пусть последовательности – сходятся, причём

Тогда сходится и последовательность

Причем справедливы формулы

а)

б)

в)

г)

Доказательство:

а) покажем, что последовательность имеет предел

произвольное число

так как предел существует

б)так как пределы - существуют, это означает, что

Последовательность имеет предел и выполняется равенство Б). Точно так же и для разности

в)

по условию последовательности – сходятся, а значит ограничены

увеличивая М можно записать неравенство

тогда

Это значит, что

г) доказать сведя к произведению

Теорема 5.

Пусть задано три последовательности

а)если и последовательность – сходятся, соответственно к , то для предела

или

б)если и последовательности - сходятся к одному и тому же пределу, то

Доказательство:

а) Пусть и докажем

от противного

Пусть тогда по определению для

Это значит , что противоречит условию

б) Пусть стремится к а,

будет выполняться

Из условия б) следует

Это означает, что последовательность стремится к а

Пример 1.

Покажем, что

Возьмем номер N такой, что тогда

По теореме б)

Пример 2.

Биномиальные коэффициенты

Ограничены первыми двумя слагаемыми, тогда, отсюда

При

Следовательно предел , тогда если p = 1 то равенство очевидно, а при p надо перейти к обратным числам

Лекция 8

Определение 7.

Последовательность – называется бесконечно малой, если её предел равен нулю

– бесконечно малая

Если то последовательность бесконечно малая и наоборот, если где то

Теорема 6.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, есть бесконечно малая последовательность

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая, - ограниченная, доказать - бесконечно малая

Так как - ограниченная

А так как - бесконечно малая

Тогда

это означает, что и последовательность бесконечно малая

Определение 8.

Последовательность Хn – называется бесконечно большой, если

Если то

Теорема 7.

А) если предел то последовательность бесконечно малая

Б) если последовательность - бесконечно малая, то последовательность бесконечно большая (

Доказательство:

А)Пусть

Следовательно последовательность - бесконечно малая

§2.3 Теорема Больцано-Венерштрасса. Фундаментальные последовательности

Определение 9.

Пусть Хn– числовая последовательность и … возрастающая последовательность натуральных чисел

Последовательность называется подпоследовательностью последовательности Хn

Если подпоследовательности Хkn сходятся, то её предел называется частичным пределом последовательности Хn

{ Хn }={1,⅟2, 2, ⅓, 3,⅟4, 4, ⅕ … n, ⅟n+1 …}

не является на бесконечно малой ни бесконечно большой, она не ограничена, однако у неё есть частичный предел

{ Х2n }={⅟2, ⅓, ⅟4 …}

Кn=n+1 эта последовательность сходится и число 0 является её пределом

Теорема 8.

Если последовательность Хn – сходится, то любая её подпоследовательность Хkn тоже сходится и имеет тот же предел

Доказательство.

Пусть Хn→ Х0

Тогда

Это значит подпоследовательность

Теорема доказана.

Теорема 9. (Лемма о вложенных отрезках)

Пусть – последовательности вложенных отрезков, то есть

an+1>an, bn+1<bn

или

тогда существует по меньшей мере одна точка, которая принадлежит всем отрезкам одновременно

Доказательство.

По условию последовательность an– не убывает, bn– не возрастает, более того обе последовательности an, , bn – ограничены, в силу того a1 an ограничены числами a1 и

Тогда существует предел этих последовательностей

(по теореме Дедекинда)

Но по условию теоремы

Таким образом, точки принадлежат всем отрезкам одновременно, в частности они могут и совпадать

Теорема 10. (Больцано-Вейерштрасса)

Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся последовательность

Доказательство:

Пусть – ограничена

Обозначим отрезок

Разделим этот отрезок пополам и возьмем ту часть, которая содержит много членов последовательности

Обозначим разделим этот отрезок пополам, и обозначим и так до

Тогда получим последовательность вложенных отрезков, длина которых равна:

Тогда в силу предыдущей теоремы существует точка Принадлежащая всем отрезкам одновременно

Построим последовательность сходящуюся в С, в качестве возьмем любой член последовательности в качестве возьмем , в качестве возьмем любой член последовательности

Таким образом, получили подпоследовательность, которая удовлетворяет неравенству

Покажем, что Действительно, что будет выполняться условие

По теореме сравнения середина тоже стремится к О

последовательность расходится, не имеет предела, но ограничена и в силу теоремы можно выделить сходящуюся подпоследовательность

ограниченная последовательность

можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Обозначим через Х множество частичных пределов X

Очевидно, что так как все частичные пределы

Так как множество ограничено, то существует точная нижняя и верхняя грани

а это множества частичных пределов

Определение 11. Внутренние свойства

Последовательность Хnназывается фундаментальной, если

(1)

То есть это последовательность, у которой члены с увеличением номера nприближаются как угодно близко

Теорема 12.

Если последовательность Хn – фундаментальная, то она ограничена

Доказательство:

Зададим выполнится (1)

Пусть

Все члены у которого

Обозначим через

Это означает, что последовательность ограничена

Теорема 13. Критерий Каши

1.Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной

Доказательство:

Пусть последовательность Хn – сходится и её предел

Докажем, что она фундаментальная, то есть выполняется (1), по определению сходящейся последовательности

тогда

значит выполняется (1) и последовательность будет фундаментальной