3. Расчетные задания

ЗАДАНИЕ 1

Найти производную данной функции.

1.1 ;

1.2 ;

1.3 ;

1.4 ;

1.5 ;

1.6 ;

1.7 ;

1.8 ;

1.9 ;

1.10 ;

1.11 ;

1.12 ;

1.13 ;

1.14 ;

1.15 ;

1.16 ;

1.17 ;

1.18 ;

1.19 ;

1.20 .

ЗАДАНИЕ 2

Найти производную и данной функции.

2.1 ;

2.2 ;

2.3 ;

2.4 ;

2.5 ;

2.6 ;

2.7 ;

2.8 ;

2.9 ;

2.10 ;

2.11 ;

2.12 ;

2.13 ;

2.14 ;

2.15 ;

2.16 ;

2.17 ;

2.18 ;

2.19 ;

2.20 .

ЗАДАНИЕ 3

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = f (x) на отрезке [a, b]

1. [4;6];

2. [4;6];

3. [-1;1];

4. [-1;3];

5. [-10;1];

6. [-2;1];

7. [-2;4];

8. [-1;2];

9. [1;4];

10. [-0.5;2];

11. [

12. [-1;4];

13. [-2;2];

14. [-1;3];

15. [4;6];

16. [0;5];

17. [-5;5];

18. [-π;π];

19. [ ; ];

20. [0; ].

ЗАДАНИЕ 4

Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить их графики.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

17. 

18. 

19. 

20. 

ЗАДАНИЕ 5

Найти пределы, пользуясь правилом Лопиталя.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. 

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. .

20. 

ЗАДАНИЕ 6

Найти частные производные 1 и 2 порядков от заданных функций.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

ЗАДАНИЕ 7

Дана функция z=ƒ(x,y) и две точки А(x₀,y₀) и B(x₁,y₁). Требуется : 1) вычислить значение z₁ функции в точке В;

2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=ƒ(x,y) в точке С(x_0,y₀,z₀)

1. Z = x² + xy + y²; А(1;2), В(1,02; 1,96).

2. Z = 3x² - ху + х + у; А(1;3), В(1,06; 2,92).

3. Z = x² + 3xy - 6у; А(4;1), В(3,96; 1,03).

4. Z = x² - у² + 6х + 3у; А(2;3), В(2,02; 2,97).

5. Z = х² + 2ху + 3у²; А(2;1), В(1,96; 1,04).

6. z = x² + у² + 2х + у-1;А(2; 4) В(1,98; 3,91).

7. Z = 3х² + 2у² - ху; А (-1; 3), В (-0,98; 2,97).

8. Z = x² - у²+5х + 4y; А(3;3), В(3,02; 2,98).

9. z = 2ху + Зу² - 5х; А (3; 4), В (3,04; 3,95).

7.10 Z = xy + 2y² - 2х; А(1;2), В(0,97; 2,03).

10. Z= x² + xy + y²; A(1;4), B(2,02; 1,96).

11. Z = х² + 2ху + 3у² A(1;2), B(1,04;1,96).

12. Z = 3x² - ху + х + у A(3;1), B(2,92;1,06).

13. Z = x² + 3xy - 6у; А(1;4), B(1,03;3,96).

14. Z = x² - у² + 6х + 3у; А(3;2) B(2,97;2,02).

15. z = x² + у² + 2х + у-1;А(4;2) B(3,91;1,96).

16. Z = 3х² + 2у² - ху; А (3;-1) B(2,97;-0;98).

17. Z = x² - у²+5х + 4y; А(4;4) B(2,98;3,02).

18. z = 2ху + Зу² - 5х; А (4,3), B(3,95;3,04).

19. Z = xy + 2y² - 2х; А(2;1), B(2,03;0,97).

ЗАДАНИЕ 8

Найти частные производные , от неявной функции.

1. 

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. 

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

ЗАДАНИЕ 9

Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

ЗАДАНИЕ 10

Дана функция z=z(x; y), точкаА(x₀; y₀) и вектор а. Найти производную в точке А в направление вектора ā.

10.1. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.2. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.3. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.4. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.5. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.6. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.7. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.8. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.9. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.10. .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

10.11. z=x²+xy+y² A(1;1), .

10.12. z=2x²+3xy+y² A(2;1), .

10.13. z=ln(5x²+3y²); A(1;1), .

10.14. z=ln(5x²+4y²); A(1;1), .

10.15. z=5x²+6xy; A(2;1), .

10.16. z=x²+xy+y² A(2;1), .

10.17. z=2x²+3xy+y² A(1;1), .

10.18. z=ln(5x²+3y²); A(2;1), .

10.19. z=5x²+6xy; A(1;1), .

10.20. z=ln(5x²+4y²); A(1;1), .

ЗАДАНИЕ 11

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в

замкнутой области.

11.1. z = x ² - ху + y ² – 4x ; в треугольнике, ограниченном

прямыми х=0, у=0, 2х + 3у—12 = 0.

11.2. z = x ² - ху + y ² – 4x ; в треугольнике, ограниченном

прямыми х=1, у=1, 2х + 3у—12 = 0.

11.3. z=x² + 3y² + x - у в треугольнике, ограниченном

прямыми x=1, y=1, x+y=1.

11.4. z=x² + 3y² + x - у в треугольнике, ограниченном

прямыми x=2, y=2, x+y=2.

11.5. z=x³ + y³—3ху в прямоугольнике 0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3.

11.6. z=x³ + y³—3ху в прямоугольнике 2 ≤ х ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 5.

11.7. z=x² - 2у² + 4ху - 6х - 1 в треугольнике, ограниченном

пря­мыми x=0, y=0, x+y=3.

11.8. z=x² - 2у² + 4ху - 6х - 1 в треугольнике, ограниченном

пря­мыми x=1, y=1, x+y=4.

11.9. z=xy - 2x - y в прямоугольнике 0 ≤ х ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4.

11.10. z=xy - 2x – y в прямоугольнике 0 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3.

11.11. в области, ограниченной параболой и прямой у = 3

11.12. в области, ограниченной параболой

и прямой у = 4

11.13. z = 2x + y - xy в квадрате 0 ≤ х ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4.

11.14. z = 2x + y - xy в квадрате 0 ≤ х ≤ 8, 0 ≤ y ≤ 8.

11.15. z = x² + 2xy - 4x + 8y в прямоугольнике,

ограниченном прямы­ми х = 0, y= 0, x=1, y=2.

11.16. z = x² + 2xy - 4x + 8y в прямоугольнике,

ограниченном прямы­ми х = 1, y= 1, x=2, y=3.

11.17. z = х² + y² – ху + х + у в треугольнике, ограниченном

прямыми x=0, у=0, х + у = -3.

11.18. z = х² + y² – ху + х + у в треугольнике, ограниченном

прямыми x=1, у=1, х + у = -2.

11.19. z =x³ + 8y³ - 6ху + 1 в прямоугольнике,

ограниченном прямы­ми у = 1, у = -1, х = 0, х = 2.

11.20. z =x³ + 8y³ - 6ху + 1 в прямоугольнике,

ограниченном прямы­ми у = 2, у = -2, х = 1, х = 3.