2.7.4 Производная сложной функции одной независимой

переменной

Если есть дифференцируемая функции аргументов и , которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной :

,

то имеет место формула

.

В частности, если , то «полная» производная функции по равна

.

Пример.2.7.4.1 .

.

Пример.2.7.4.2 .

;

.

2.7.5 Производная сложной функции нескольких независимых переменных

Если , где есть дифференцируемые функции, независимые переменные, то частные производные выражаются так:

; .

В частности, если , то , где и частные производные равны

; .

Пример.2.7.5.1

;

Пример.2.7.5.2

;

.

2.7.6 Производная неявной функции

Если уравнение определяет как функцию независимых переменных и , где - дифференцируемая функция всех своих переменных и , то частные производные этой неявно заданной функции находятся по формулам:

Если , то неявная функция имеет только одну независимую переменную и производная неявно заданной функции равна

.

Пример.2.7.6.1 Найти .

;

;

;

;

;

;

.

Пример.2.7.6.2 Найти .

;

;

;

;

.

2.7.7 Производная неявных функций, определяемых системой уравнений

Если есть дифференцируемые функции независимых переменных и , определяемые неявно системой уравнений

где и - дифференцируемые функции своих переменных и якобиан

,

то частные производные этих неявных функций находятся из системы уравнений

В частности, если , то эта система уравнений принимает следующий вид:

где - дифференцируемые функции своих переменных и их якобиан не равен нулю.

Пример.2.7.7.1

Найти .

Решение

;

.

Пример 2.7.7.2

Найти .

Решение

;

.

2.7.8 Производная функции, заданной параметрически

Если есть дифференцируемая функция переменных , заданная параметрическими уравнениями:

где дифференцируемые функции своих переменных и якобиан

,

то частные производные функции, заданной параметрически, могут быть найдены из системы уравнений

Пример.2.7.8.1

Найти .

Решение

.

подставляя выражения для и в выражение для , получаем

.

2.7.9 Производные высших порядков сложных и неявных

функций

Частные производные высших порядков сложных и неявных функций вычисляются дифференцированием формул, определяющих производные, порядок которых ниже на единицу. Скажем, чтобы найти вторую производную от функции , например , нужно продифференцировать по частным образом выражение ранее определенной первой производной , помня при этом, что фигурирующая в нем функция зависит от , т.е. следует применить правило дифференцирования сложной функции.

В результате выражение для может содержать производную . Последнюю следует заменить уже найденным для нее значением.

Пример.2.7.9.1

Найти .

На основании (7.5) запишем:

.

Далее:

.

Пример.2.7.9.2

.

Найти .

Введем обозначение: .

Согласно (7.6), запишем:

Далее, определим вторые производные: