2.6 Дифференцируемость функции
2.6.1
Функция
называется дифференцируемой в точке
,
если ее полное приращение в этой точке
может быть представлено в виде
,
где
;
;
- дифференциальная функция
2.6.2
Главная часть приращения дифференцируемой
функции, линейная относительно приращений
аргументов, называется полным
дифференциалом функции
и обозначается
:
2.6.3 Теорема (необходимое условие дифференцируемости)
Если
функция
дифференцируема в точке
,
то она непрерывна в этой точке и имеет
частные производные по всем переменным.
2.6.4 Теорема (достаточное условие дифференцируемости)
Если у функции в некоторой δ-окрестности точки существуют частные производные по всем переменным, которые непрерывны в точке , то функция дифференцируема в этой точке.
2.7 Правила дифференцирования.
Дифференцирование суммы, произведения, частного функции нескольких переменных производится по обычным правилам дифференцирования.
2.7.1 Полный дифференциал сложной функции
Если у функции каждая переменная в свою очередь является функцией одной или нескольких независимых переменных, то полный дифференциал этой сложной функции вычисляется по той же формуле, что и для функции независимых переменных
.
В этом проявляется инвариантность формы первого дифференциала.
2.7.2 Дифференциал высшего порядка функции нескольких независимых переменных
Пусть функция имеет вторые непрерывные частные производные. Второй дифференциал от нее определяется равенством
,
при
этом дифференциалы dx,
dy рассматриваются
как не зависящие от
x y
и дифференциал 2-го порядка функции z
вычисляется по формуле
.
Для
функции большего числа переменных
с использованием сокращенного обозначения
символа суммирования получим следующую
формулу:
.
Так
как
,
то второй дифференциал от нее представляет
собой квадратичную форму относительно
независимых дифференциалов
:
k=1,…,n.
Отметим, квадратичной формой от переменных
:
k=1,…,n
называется функция вида
,
где
,
-
числа.
Для дифференциала n-го порядка функции двух независимых переменных при наличии соответствующих производных справедлива следующая символическая формула:
,
которая формально развертывается по
биномиальному закону. Вообще, дифференциал
произвольного порядка от функции z для
независимых дифференциалов
определяется по индукции при помощи
рекуррентного соотношения
,
где
берутся для независимых дифференциалов
,
которые к тому же рассматриваются при
вычислениях как постоянные. В многомерном
случае имеет место аналогичная
символическая формула
.
2.7.3 Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
Если , где аргументы есть функции одного переменного или нескольких зависимых переменных, то при наличии соответствующих производных для дифференциала 2-го порядка справедлива формула
.
Если , то этой формуле можно придать следующую символическую форму:
.
Вычисление дифференциалов более высших порядков через зависимые переменные производится подобным образом последовательно, учитывая рекуррентное соотношение
,
основные правила дифференцирования и зависимость производных от аргументов.