2.2 Функция нескольких переменных

2.2.1 Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается некоторое множество точек из плоскости , и если каждой точке , имеющей координаты , в силу некоторого закона поставлено в соответствие число , то говорят, что на множестве задана функция двух переменных . Множество называется областью определения функции .

Функцию от двух переменных можно изобразить в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат в виде геометрического места точек , а область определения – на плоскости .

Пример. 2.1Геометрическим местом точек для функции является верхняя половина шаровой поверхности (рисунок 1). Область определения находится, исходя из условия неотрицательности подкоренного выражения (рисунок 2):

(если граница области не включается, то линия изображается штриховой линией).

Рисунок 1

Рисунок 2

2.2.2 Не всегда удается изобразить график функции. Построение графиков упрощается с помощью линий уровня.

Линией уровня называется множество точек , в которых функция принимает одинаковые значения.

Пример. 2.2Построить линии уровня функции .

Согласно определению линии уровня: при , откуда . Это уравнение определяет окружности радиуса с центром в начале координат (рисунок 3). При линия уровня выражается в точку . .

Рисунок 3

2.2.3 Функция нескольких переменных, которую можно записать в виде

,

определяется аналогично.

При это определение лишено наглядности изображения. При область определения функции можно представить в пространстве. В этом случае вместо линий уровня вводится понятие поверхностей уровня. Они точно так же могут вырождаться в какую-либо кривую или точку.

2.3 Предел функции

2.3.1 Пусть функция определена в некоторой -окрестности точки за исключением, быть может, самой этой точки.

Число называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого существует такое , что из условия

следует

.

Предел функции обозначается так:

.

Пример.2.3.1.1 Покажем на основе этого определения, что предел функции в точке равен 6. Это значит, что для произвольного необходимо найти такую точку - окрестности точки , что из условия следует равенство .

Рассмотрим квадрат со стороной с центром в точке . Если точка принадлежит этому квадрату, то

и для таких точек квадрата

для . Если положить, что , то получается необходимое неравенство для всех точек квадрата. А для точек круга радиуса с центром в точке тем более выполняется это неравенство. Таким образом, указана - окрестность , для всех точек которой выполняется это неравенство .

Пример. 2.3.1.2 Докажем, что функция

имеет предел, равный нулю, в начале координат .

Функция не определена в точке , но имеет предел в этой точке.

Зададим произвольное . Тогда если , то по определению .

.

Положив , получаем необходимое неравенство.

Пример. 2.3.1.3Вычислим , используя замечательный предел.

Функция не определена на оси абсцисс, но в точке имеет предел. В самом деле, сделав замену , имеем

.

Пример. 2.3.1.4Рассмотрим функцию . Пусть точка стремится к по параболе , где . Тогда

,

т.е., подходя к точке по различным параболам (для различных ), получаем различные пределы. А это означает отсутствие предела.

2.3.2 Пусть функция определена в окрестности . Число называется пределом функции при , если для любого существует такое , что из условия следует, что .

Пример.2.3.2.1 Покажем, что

.

Зададимся произвольным . Если , то или и ; далее, очевидно, что или , поэтому , следовательно, . Положив , получим необходимые неравенства.

Пример.2.3.2.2 Вычислим . Для этого введем полярные координаты , , тогда . Из условия вытекает, что и . Здесь произвели замену переменной , откуда если , то .